论文部分内容阅读
本文主要研究了p＆q-Laplace方程非平凡弱解的存在性，正则性以及解的指数衰减性。其中10且g(x，u)关于乱满足类似于渐近线性的条件(见条件(C2))，本文证明了方程(1)存在一个非负解。当g(x，u)为类渐近线性(p=2即为渐近线性)时，方程不满足(AR)条件，并且在RN上Sobolev嵌入失去紧性，加上有p和g两个Laplace，证明(PS)序列的有界性成为主要困难，我们仿照G.B.Li& H.S.Zhou[46]的办法，采用Vanishing和Nonvanishing以及变量替换等伸缩的办法来证明(PS)-序列的有界性，最后得到了解的存在性。
在第三章中，笔者证明了方程(1)弱解的Cl,α正则性。由于经典文献[18][40][62]中的结果都不能直接应用于p＆q-Laplace型方程，需要作细致的估计。证明了当f(x，u)一致有界或者满足一定增长性条件时，方程的解都有C1,α的正则性。当f(x,u)有界时，本文借助DiBenedetto[18]和P.Tolksdor[62]的方法以及[40]中的一些定理证明了方程(1)弱解的C1,α的正则性；当f(x，u)满足临界指数增长时，应用Morse迭代，首先证明了解的有界性，然后证明方程(1)的解也有C1,α的正则性。本文采用了各种不同的检验函数适当截断的办法来证明解的正则性。
在第四章中，笔者研究了方程(1)弱解的指数衰减性，其中f(x,u)=g(x，u)—m｜u｜p-2u—n｜u｜q-2u。证明了当m，n>0且f(x，u)满足临界指数增长条件(A2)时，方程解的梯度在RN上有界；当g(x,u)满足类渐近线性条件(C2)，m,n≥0，甚至m=n=0时，都可得到解的梯度在RN上的有界性；笔者通过采用两个检验函数以及两个估计式同时进行迭代的办法，证明了弱解在全空间RN上的一致有界性，进而利用G.Li＆s.Yan[44]的办法，证明了方程(1)的弱解在无穷远处的指数衰减性。
以上的主要结果都是新的，是[18][40][44][46][62]中结果的推广。