【摘 要】
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代数图论是数学中离散数学的一个分支,主要应用代数的方法和技巧解决图论问题.其主要方法有三种,分别是线性代数方法,群论方法和图的不变量方法.连通图G中任意两点i,j之间电阻距离r(i,j)(G)是指当图G的每条边由单位电阻代替后所得电网络中节点i和j之间的有效电阻.而图G的基尔霍夫指标(Kirchhoff index)Kf(G)是指G中所有点对之间的电阻距离之和.本文主要运用线性代数方法并结合图谱理
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代数图论是数学中离散数学的一个分支,主要应用代数的方法和技巧解决图论问题.其主要方法有三种,分别是线性代数方法,群论方法和图的不变量方法.连通图G中任意两点i,j之间电阻距离r(i,j)(G)是指当图G的每条边由单位电阻代替后所得电网络中节点i和j之间的有效电阻.而图G的基尔霍夫指标(Kirchhoff index)Kf(G)是指G中所有点对之间的电阻距离之和.本文主要运用线性代数方法并结合图谱理论的技巧给出了三类双联图和五类冠图变型的电阻距离和基尔霍夫指标,同时刻画了七类冠图变型的拉普拉斯谱.全文共分以下四个部分:第一章首先列举了本文用到的一些基本概念与引理,然后简要介绍了图的电阻距离r(i,j)(G)和基尔霍夫指标Kf(G)的一些研究背景和进展情况,最后简述了本文的主要结果.第二章在联图、剖分图、R图和Q图的电阻距离和基尔霍夫指标的研究成果的基础上讨论了三类双联图即剖分双联、R-双联以及Q-双联图的电阻距离和基尔霍夫指标.受文献[Discussions Mathematicae Graph Theory 36(2016)127-140]中对几类冠图变型的邻接谱研究方法的启发,在第三章中,借助正则图的邻接矩阵与关联矩阵之间的关系,通过对拉普拉斯矩阵实施适当的变换,刻画了七类冠图变型的拉普拉斯谱,并就每一类冠图变型的拉普拉斯谱给出了简单应用举例.在第三章的基础上,第四章主要研究了五类冠图变型的电阻距离和基尔霍夫指标,并就每一类冠图变型图的基尔霍夫指标公式给出了应用举例.
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