本论文主要研究的是关于平面图的着色问题，根据对色多项式的零点问题的讨论，来计算平环中n个区域的着色数目以及将其剖分后的着色数目，从而得出一些相关的结论.又由于图的色多项式与Potts模型的分拆函数及纽结的多项式有一定的联系，因此本文又将色多项式应用到了统计力学和纽结当中.　　本篇论文的主要研究方法是对平面图着色提供了一个新的渠道，即通过对图的色多项式的计算来讨论平环中n个区域图Gn及其剖分图G*n的着色数目，并对比图剖分前后着色数目的变化来归纳总结出一些结论.为了本文的顺利完成，首先，对图论知识、纽结理论及统计力学的知识进行回顾，然后对一些特殊的图形分别进行了讨论：第1类讨论了n个区域图Gn的最小着色数目；第2类对区域图Gn进行广义剖分，讨论剖分后图的着色数目的变化，也给出了相应的例子；第3类将两个平环组合在一起，使两个区域图Gt和Gs具有一条公共边，讨论组合图及其广义剖分后图的着色数目；第4类将三个平环组合在一起，讨论三个区域图Gm，Gn，Gt两两具有一条公共边的着色数目；第5类对区域图Gn进行三角剖分，讨论剖分后图的着色数目的变化.　　最后根据色多项式和Potts模型分拆函数之间的联系，在平环的区域图上建立Potts模型，通过对平面图剖分前后的着色数目的讨论，来研究Potts模型分拆函数的相应变化.又根据色多项式和纽结的方括号多项式之间的联系，计算了几个特殊纽结的色多项式，从而得出一些结论.