图的对集（匹配）是这个图的边的集合,其中任意两条边都没有公共的顶点.如果图G的某个对集M覆盖了 G的所有的顶点,那么这个对集M就是图G的一个完美对集.Harary在上世纪50年代提出了符号图（G,σ）的概念.2020年,Behr给出了符号图边染色的概念.本学位论文围绕简单符号图的对集进行研究.受符号图边染色的概念的启发,我们首先给出了对集的定义,然后研究了图的对集理论中的Berge定理,Hall定理和Tutte定理在符号图对集上的推广.本文还研究了路和森林的符号乘积图的边染色.本论文框架如下:在第一章中,我们首先介绍本文所要用到的基本概念及相关问题的研究现状,然后列出了本文的主要结果.在第二章中,我们给出了简单符号图对集的定义,得到了如下3个结果:（1）Berge定理在符号图对集上的推广:对集M是符号图（G,σ）的最大对集当且仅当（G,σ）不包含M-增广路.（2）Hall定理在符号图对集上的推广:设（G[X,Y],σ）是一个符号二部图,I（X）是与X中点关联的点-边有序对的集合.对于e=xy,当σ（e）=-+1时,定义NGσ（（x,e））=y;当 σ（e）=-1 时,定义 NGσ（（x,e））=（y,?）,NG?（（x,?））=（y,e）.定义 N（S）=∪x∈S,e∈E（x）NGσ（x,e）)其中E（x）是与x关联的边的集合.我们得出了如下结论:符号二部图（G[X,Y],σ）有一个对集M满足|M ∩I（X）| ≥|X|当且仅当对于所有的S ?X都有|N（S）| ≥|S|.（3）Tutte定理在符号图对集上的推广:设（G,σ）是一个符号图,对于任意的S?V（G,σ）,S1+是（G,σ）-S的奇分支与S中的点只要有正边关联的S的子集构成的集合,S-:=S-S1+.S1+分为S+和S+,-2类,其中S+是S1+的子集并且该子集的每个顶点与（G,σ）-S的奇分支关联的边全是正边,S+,是S1+的子集并且该子集的每个顶点与（G,σ）-S的奇分支关联至少一条正边和一条负边.S=S1+∪S-=S+∪S+,∪ S-.（G,σ）-S的奇分支C构成的集合为C,|C|=q（G-S）=q（（G,σ）-S）.C1={C1:C1是（G,σ）-S产生的与S1+关联的奇分支}.C2=（C2:C2是C1的子集并且该子集的元素与S+关联）,S={S:S? V（G）使得S满足（A）-（F）},其中（A）:f（S）=|C|-|S|最大;（B）:在满足（A）的前提下,|S|是最大的;（C）:在满足（A）,（B）的前提下,|C1|-|S1+|最大;（D）:在满足（A）-（C）的前提下,|S1+|是最大的;（E）:在满足（A）-（D）的前提下,|C2|-|S+|最大;（F）:在满足（A）-（E）的前提下,|S+|是最大的.令g（S）=|C|-|S|,取g（G）=maxS∈Sg（S）,我们得出了如下结论:在（G,σ）中存在一个对集使得（G,σ）中没有被覆盖的点的数目小于等于g（G）.在第三章中,我们给出了一个简单符号图弱对集的定义.由于在第二章中,无法计算得到的一般符号图的符号对集M的非空的点-边有序对的数目,在这一章我们对符号图的弱对集进行研究,得到了如下4个结果:（4）Berge定理在弱对集上的推广:弱对集M是符号图（G,σ）的最大弱对集当且仅当（G,σ）不包含M-增广路.（5）Hall定理在弱对集上的推广:设（G[X,Y],σ）是一个符号二部图,N（S）是S中点的所有邻居的集合,我们得出了如下结论:符号二部图（G[X,Y],σ）有一个弱对集M覆盖X的每个点当且仅当对于任意的S?X都有|N（S）| ≥|S|.（6）Tutte定理在弱对集上的推广:对于任意的S?V（G,σ）,q（G-S）表示（G,σ）-S中奇数个点的连通分支的数目,f（S）=q（G-S）-|S|,定义f（G,σ）=maxS?Vf（S）,|M*|是M*中非空的点-边有序对的个数,我们得到了如下结论:符号图（G,σ）中的最大弱对集满足|V|-f（G,σ）=|M*|.（7）我们还给出了简单符号图上的最大弱对集的搜索算法.在第四章中,我们研究了路和森林的符号乘积图的边色数,并得到了如下结果:（8）令（Pn□Tm,σ）是一个路和森林的符号乘积图,其中n,m分别是Pn,Tm上的点数,χ’（Pn□Tm,σ）是（Pn□Tm,σ）的边色数.当 n＞2 且 Δ（Tm）＞1 时,χ’（Pn□Tm,σ）=Δ（Pn□Tm,σ）.