【摘 要】
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在图像处理,机器学习等领域中,有很大一部分问题可以建模为带有线性等式约束、具有变量可分离等特点的凸优化模型.随着大数据时代的到来,样本数量与维度呈现爆炸式增长,使得求解该类问题的难度急剧增大.交替方向乘子法充分利用变量可分离的特点以及各个函数的性质,通过交替更新变量,将问题的难度分散在每个子问题上,因此在大规模优化问题及分布式计算系统中获得了广泛的关注.本文从以下两部分内容分别对交替方向乘子法进行
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在图像处理,机器学习等领域中,有很大一部分问题可以建模为带有线性等式约束、具有变量可分离等特点的凸优化模型.随着大数据时代的到来,样本数量与维度呈现爆炸式增长,使得求解该类问题的难度急剧增大.交替方向乘子法充分利用变量可分离的特点以及各个函数的性质,通过交替更新变量,将问题的难度分散在每个子问题上,因此在大规模优化问题及分布式计算系统中获得了广泛的关注.本文从以下两部分内容分别对交替方向乘子法进行研究:第一部分:关于交替方向乘子法的终止准则的研究.终止准则是用来判断迭代算法是否应该停止运行的评判标准.由于每进行一次迭代都要计算是否满足终止条件,因此对于求解大规模优化问题,设计简单的终止准则是很有必要的.本文提出一种新的关于交替方向乘子法的终止准则,与已有的终止准则相比,其具有计算简单,计算量小的特点;理论上,我们分别从原始问题和对偶问题两个角度证明本文提出的终止准则与已有终止准则的等价性.第二部分:自适应步长的线性化交替方向乘子法.我们考虑的问题是图像处理领域中常出现的一类优化模型,在利用交替方向乘子法求解时,常出现某一个子问题由于规模较大而不易求解的情形.本文对交替方向乘子法做出改进,提出自适应步长的线性化交替方向乘子法,一方面通过对子问题线性化降低了求解子问题的难度;另一方面采用自适应步长策略改善了线性化交替方向乘子法中参数不易选取的难题.理论上,在变分不等式框架下,我们证明了该算法的全局收敛性,并建立了在最坏情形下算法在非遍历意义下O（1/k）的收敛速度估计,其中k为迭代次数.数值上,我们求解了计算机断层扫描问题中的一类优化模型–全变差图像重建模型,在该模型上,我们详细对比了该算法和线性化交替方向乘子法,数值结果显示,该算法更加快速、稳定、高效.
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