在过去的十几年里，随着分数阶偏微分方程的广泛应用，证实了带分数阶导数的模型比传统的整数阶导数模型能更精确的描述科学与工程领域中的系统现象.然而，分数阶模型的解析解很难得到.所以，分数阶偏微分方程的数值方法研究已成为当前应用数学领域一个重要的分支.本文主要研究几类时间分数阶偏微分方程、空间分数阶非线性Schr(o)dinger方程、变时间分数阶偏微分方程及相关应用。　　首先考虑两类空间带变系数的时间分数阶偏微分方程的差分方法.对带Dirichlet边界条件的空间变系数反常扩散方程，结合时间分数阶导数的L1离散和空间导数的四阶逼近.建立了紧差分格式.用能量方法分析了紧差分格式的无条件稳定性和收敛性，对带Neumann边界条件的空间变系数反常扩散方程，利用降阶法构造了Box型格式，并相应的给出了理论分析结果.通过数值试验验证了理论分析的精度。　　对一维分数阶变系数Cattaneo方程.结合了对一阶时间导数和分数阶时间导数的Crank-Nicolson型离散，构造了Crank-Nicolson型紧格式.通过能量方法,分析了紧格式在H1半范下的稳定性和收敛性.收敛阶为O(τ2-α+ h4)，其中τ和h分别是时间和空间方向的步长，α是时间分数阶导数的阶数.对二维问题，结合对时间导数的离散，选择适当的小量项建立了不降低时间方向精度的Crank-Nicolson型紧交替方向差分格式.一维问题和二维问题的数值算例证明了所提差分格式的有效性。　　其次，对α∈(0，1)阶Caputo导数，在半网格点提出了中点公式.并分析了公式的截断误差.结合中点公式对分数阶导数的离散及二阶中心差商对拉普拉斯算子的离散，对反常扩散问题构造了时空均是二阶的分数阶Crank-Nicolson格式(FCN).对二维问题，利用添加小量项的方法，建立了分数阶Crank-Nicolson交替方向隐格式，并通过数值方法验证了格式在时间方向的精度是1+α。通过数值试验,与隐格式(INM)(Zhuang et al.，SIAM J.Numer.Anal.,46(2008)，pp.1079-1095)与Crank-Nicolson型(CN)格式(Zhang et al.，SIAMJ.Numer.Anal.,49(2011)，pp.2302-2322)进行比较，结果显示FCN格式对任意的α在时间方向都是二阶收敛的.而当α接近1时，已有的格式的精度较低.对α∈(1，2)阶Caputo导数，构造二阶的逼近公式并分析其截断误差.结合二阶逼近公式与空间二阶中心差商，对扩散波问题提出了时空均是二阶收敛的差分格式.此外.对空间导数运用紧算子，建立了空间四阶的紧格式.数值算例验证了所提差分格式在时间方向和空间方向的精度。　　研究非线性空间分数阶Schr(o)dinger方程的数值解法.利用已有的二阶中心差分格式(Celik和M.Duman,J.Comput.Phys.，231(2012)，pp.1743-1750)对α∈（1，2]阶Riesz导数构造紧算子并证明算子具有四阶精度.对一维的非线性空间分数阶Schr(o)dinger方程，建立了三层线性化紧格式并给出了格式的唯一可解性与收敛性的理论分析.对二维问题，结合紧算子对空间导数的逼近，提出了紧交替方向隐格式，并证明了格式的唯一可解性与收敛性，收敛阶为O(τ2+ h4)，其中τ是时间步长,h=max{h1，h2}，h1，h2分别是空间x方向和y方向的网格步长.数值试验验证了理论分析的精度同时利用CPU时间说明了新的紧算子能大大提高格式的精度而不带来额外的计算量。　　最后研究时间变分数阶偏微分方程的应用.借助于时间变分数阶导数，揭示反常扩散及扩散波对应不同的阶数在不同的时间段内的现象.通过调节依赖于时间和空间变量的时间分数阶导数的阶数，将波传播问题在边界附近逐渐转变为扩散问题，使得波的能量在边界附近逐渐耗散从而有效地防止波的反弹.把变分数阶导数算子应用于Burgers方程的数值求解，利用导数的扩散性质,有效的消除了数值解的震荡。