【摘 要】
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丢番图方程是指未知数个数多于方程个数且取整数值的方程(或方程组),是数论中一个很重要的内容和研究课题,与代数数论、组合数学、代数几何等有密切联系。它的研究成果不仅对
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丢番图方程是指未知数个数多于方程个数且取整数值的方程(或方程组),是数论中一个很重要的内容和研究课题,与代数数论、组合数学、代数几何等有密切联系。它的研究成果不仅对数学各个分支的发展起着重要作用,而且对其它学科如物理学、经济学、计算机科学等有很大的应用价值。因此,丢番图方程一直是众多数学工作者热衷研究的对象。本文的主要内容为:1.论述了丢番图方程的概况、丢番图方程的主要成就、解丢番图方程的困难性以及求解原则。2.给出了本文的预备知识,包括同余理论、二次剩余、Legendre符号、Pell方程的一些主要相关定义、性质、定理等。3.介绍了丢番图方程Ax2+B=yn的研究进展,并用代数数论的方法证明了丢番图方程Ax2+B=yn在(A,B,n)=(1,4,9)时无整数解。4.介绍了丢番图方程x2-Dy4=N的研究进展,并用递归序列、同余式、二次剩余的方法证明了丢番图方程x2-Dy4=N在(D,N)=(3,397)时仅有正整数解(20,1)。5.介绍了丢番图方程ax4+bx2y2+cy4=dz2的研究进展,并用Fermat无穷递降法证明了丢番图方程ax4+bx2y2+cy4=dz2当(a,b,c,d)=(2,2,1,1)时无正整数解。
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