科技的飞速发展使得现实生活中出现了大量的高维数据,如视频数据、高光谱遥感图像以及交通流量数据等。然而,由于诸多不可避免的因素,人们获取到的高维数据往往具有噪声干扰或元素缺失等退化现象。高维数据复原旨在利用退化的高维数据反演高质量的高维数据,是目前数学与信息科学交叉研究的热点与难点问题之一。高维数据复原问题在数学上可以建模为张量反问题,在求解上具有不适定性,因此需要引入高维数据的先验知识来稳定求解过程。近年来,得益于对高维数据全局相关性的强大捕捉能力,张量分解在高维数据复原问题中取得了很大的成功。然而现有张量分解方法仍存在许多不足之处。本文以高维数据复原中的关键数学问题为研究目标,围绕一个基础问题:发展新型张量分解方法及张量秩函数;两个实际问题:建立高维数据复原问题的张量优化模型和设计高性能求解算法展开研究。具体研究内容、贡献与创新点为:一、提出了全方向张量奇异值分解,解决了传统的张量奇异值分解无法灵活地刻画张量各个维度不同强度的相关性的问题。基于新分解,定义了张量fibered秩函数。由于直接极小化张量fibered秩的元素之和是非确定性多项式难问题,提出了fibered秩元素之和的凸松弛形式和非凸松弛形式。通过极小化这两种松弛形式建立了相应的高光谱图像混合噪声去除模型,设计了基于交替方向乘子方法的求解算法。数值试验结果表明了提出的方法在噪声去除和图像内在结构保护方面均优于对比的方法。二、在研究内容“一”的基础上,定义了一个新的张量展开算子,该算子按字典顺序将N阶张量的所有模k1,k2切片堆叠成三阶张量。继而定义了一个张量N-tubal秩,该秩函数适用于N（N≥3）阶张量且能够灵活地刻画张量各个维度不同强度的相关性,解决了张量奇异值分解导出的张量tubal秩和研究内容“一”中的张量fibered秩只适用于三阶张量的问题。为了有效地极小化N-tubal秩元素之和,定义了它的凸松弛形式,建立了相应的高维数据填充和稀疏噪声去除模型,并设计了基于交替方向乘子方法的求解算法。数值试验结果表明了在填充和去噪问题上提出的方法均优于对比的方法。三、为了解决张量链分解和张量环分解相关性度量能力有限和不具有转置不变性的问题,提出了一种新型全连接张量网络分解。全连接张量网络分解建立了任意两个因子间的多线性运算,具有两个优势:一是能够充分地刻画张量任意两个维度间的相关性;二是在数学上具有转置不变性。基于全连接张量网络分解,提出了全连接张量网络秩,建立了基于全连接张量网络分解的高维数据填充模型,设计了基于邻近交替最小化方法的求解算法并证明了它的理论收敛性。数值试验结果表明了基于全连接张量网络分解的方法优于基于其他张量分解的方法。四、在研究内容“三”的基础上,提出了基于因子正则的全连接张量网络分解,并建立了相应的高维图像填充模型。与只考虑全连接张量网络分解的模型相比,该模型可以同时刻画张量的全局低秩性和局部连续性,对全连接张量网络秩更鲁棒且能够更好地保护高维图像的局部细节信息。为了求解该模型,设计了一种基于邻近交替最小化方法的算法,并证明了它的理论收敛性。针对求解算法中子问题的结构特征,设计了一种快速的精确求解策略。数值试验结果表明了提出的方法在图像全局结构和局部细节信息的复原能力上均优于对比方法。