【摘 要】
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本论文的研究内容属于Orlicz-Brunn-Minkowski理论,该领域是Lutwak, Yang,和Zhang在2010年提出的一个新兴凸几何研究方向.本文主要致力于该理论中Orlicz Minkowski问题及相关极值问题的研究.本论文的研究工作可以分为四个方面：在第二章中,我们给出了关于一般测度的Orlicz Minkowski问题的解.该结果推广了Haberl, Lutwak, Yan
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本论文的研究内容属于Orlicz-Brunn-Minkowski理论,该领域是Lutwak, Yang,和Zhang在2010年提出的一个新兴凸几何研究方向.本文主要致力于该理论中Orlicz Minkowski问题及相关极值问题的研究.本论文的研究工作可以分为四个方面：在第二章中,我们给出了关于一般测度的Orlicz Minkowski问题的解.该结果推广了Haberl, Lutwak, Yang,和Zhang给出的偶Orlicz Minkowski问题的解.Minkowski问题是由Minkowski在1897年提出的,问的是定义在球面上的什么样的测度是某个凸体的表面积测度?该问题本质上是找到一个Monge-Ampere方程的解,在几何分析中处于一个非常重要的地位,至今仍然是研究的热点之一.不同于偶Orlicz Minkowski问题的变分证法,我们首先给出了关于离散测度的Minkowski问题的解,然后利用逼近的方法,给出了关于一般测度的Orlicz Minkowski问题的解.进一步,我们可以得到现知的关于一般测度的Lp Minkowski问题的解（p>1）.在第三章中,我们利用Paouris和Pivovarov的一个结果,给出了一个关于概率测度的非对称Orlicz质心不等式,从而把Haberl和Schuster关于星体的非对称Lp质心不等式推广到紧集上.关于凸体的Orlicz质心不等式是Lutwak, Yang,和Zhang提出并解决的.Zhu随后解决了关于星体的Orlicz质心不等式Paouris和Pivovarov通过对随机多胞形的研究给出了一个关于概率测度的对称Orlicz质心不等式.我们注意到Paouris和Pivovarov的结果其实是M-加的特例Gardner, Hug,和Weil在文中表明了1-无条件体和1-无条件体与第一卦限相交的体在对称与非对称理论中发挥的作用,启发我们给出了一个关于概率测度的非对称Orlicz质心不等式.在第四章中,我们建立了关于Wulff形的Gauss不等式.Ball和Barthe在上世纪90年代的开创性工作建立了关于迷向测度的Brascamp-Lieb不等式及其逆,对逆仿射等周不等式的研究有突破性的发展.特别地,Ball-Barthe的方法成功的被引入到了两个方面的研究.一方面是关于体积不等式的研究,另一方面是关于Gauss不等式的研究.在Gauss不等式的研究方面,Barthe和Schmuckenschlager分别建立了Barthe平均宽度不等式及其逆不等式.Li和Leng最近建立了这两个不等式的连续形式.受Schuster和Weberndorfer最近给出的关于Wulff形的体积不等式的启发,我们建立了相应的关于Wulff形的Gauss不等式,该不等式是以上所提结果的推广.另外,我们还给出了关于LYZ椭球的新的Gauss不等式.在第五章中,我们提出了复迷向测度的概念,并利用多维Brascamp-Lieb不等式及其逆建立了关于复迷向测度的Lp-cosine变换和sine变换的体积不等式.在实向量空间中,关于迷向测度的Lp-cosine变换的体积不等式是由Ball, Barthe, Lutwak, Yang,和Zhang建立的.关于迷向测度的sine变换的体积不等式是由Maresch和Schuster建立的.第五章的结果可以认为是他们的结果在复向量空间的推广.
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