【摘 要】
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近些年来,q-级数成为越来越多学者研究的对象,基本超几何级数也得到了迅速发展,然而在研究q-正交多项式、有限求和公式和积分运算的形式过程中受到了限制,人们后来发现从q-差
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近些年来,q-级数成为越来越多学者研究的对象,基本超几何级数也得到了迅速发展,然而在研究q-正交多项式、有限求和公式和积分运算的形式过程中受到了限制,人们后来发现从q-差分方程的角度研究q-多项式能有效的解决这一问题.本文主要分以下三个部分来介绍利用q-差分方程以及一些基本的计算方法来研究Askey-Wilson积分、分数阶q-多项式、q-Hermite多项式,并得出一些算子恒等式以及生成函数,同时对相应生成函数进行推广与扩展.本文的主要结果有:一、讨论特殊函数中以q-多项式作为形式解的q-差分方程的相关问题,并利用q-差分方程的方法推广了多变量Askey-Wilson积分及其逆积分,并且得到了Bailey 6ψ6求和公式新的多变量拓广.二、建立了分数q-积分与分数阶q-多项式生成函数之间的关系,给出Predrag-Sladjana-Miomir多项式的拓广定义,并讨论以q-差分方程作为形式解的生成函数问题.同时得到了Predrag-Sladjana-Miomir多项式与特定q-多项式的拓广生成函数.三、以Ismail与Zhang研究的二元q-Hermite多项式为基础,构造了三元q-Hermite多项式及其对偶形式,同时建立三元q-Hermite多项式与q-微分算子间的联系,寻找到合适的q-偏微分方程,利用方程的性质,得到三元q-Hermite多项式的生成函数、Srivastava-Agarwal类型生成函数、Nielsen型生成函数、混合型生成函数.
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