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设(S,U)为U-富足幺半群，E为(S，U)的幂等元集合，H1为（S,U)中含有恒等元1的H-类.如果(S，U)满足:
(1)U=E是带;
(2)任意的a∈(S，U)，a+∈(R)a∩ E，a*∈(L)a∩E满足:(i)任意h∈，存在唯一元素g∈，使得ha=ag;(ii)任意k∈，存在唯一元素f∈，使得ak=fa.
(3)任意的a∈(S,U)，|(U)(a)|=|(A)(a)∩(H)1|=1，其中(A)(a)={b∈(S，U):a=ebf, eRa, f(L)a,e,f∈U}.则称此类半群(S,U)为u-E-纯正半群，记作(S，E).本文的第一部分用只含有一个幂等元幺半群和带的半直积建立了这类半群的结构.
设S为纯正幺半群，H1为S中的单位群，如果对任意的x∈S，|U(x)|=|A(x)∩H1|=1，其中A(x)={a∈S:xax=x}，则称S为u-纯正半群.事实上u-纯正半群是u-E-纯正半群.本文的第二部分用带上的同余和群的子半群族刻画了u-纯正半群上的同余.