傅立叶分析是近代数学各种分支中应用得最广泛的一个分支。自从六十年代中期快速傅立叶变换算法被发现以来，傅立叶分析的应用领域愈益扩大。到今天，几乎一切现代科学技术领域都要用到傅立叶分析方法。但是傅立叶分析本身的局限性也随着傅立叶级数的发展也显得愈发突出。针对这一问题，自20世纪40年代以来，诸如短时傅立叶变换、Gabor展开和分数阶傅立叶变换等新的分析方法被陆续提出。框架概念最早由R．J．Duffin和A．G．Schaeffer于1952年研究非调和傅立叶级数时正式提出的，它在小波分析的发展中起了非常重要的作用。本文讨论了框架的基础理论：提出的分数频傅立叶级数正是对这种正交性进行的一般化拓展。这种非正交性突破正交性要求下的频率为基频整数倍的限制，使得对信号的处理更加灵活、细致。在本论文中，还提出了问题研究的方向。本文分四章讨论：第一章是预备知识，讨论了有关傅立叶级数、空间、算子以及贝塞尔序列的基础知识，是以后各章必备的基础。第二章在前人工作的基础上从以下几个方面系统地总结了框架的有关理论：1、框架的概念；2、框架与算子、贝塞尔序列的关系；3、对偶框架；4、框架的分解与重构；5、特殊的框架；6、有关框架的其他问题。第三章提出了一维、二维分数阶傅立叶级数的有关概念，并指出了分数阶傅立叶级数在信号处理中的应用；第四章指明了分数阶傅立叶级数的研究方向。