拓扑量子态最早在具有量子霍尔效应的半导体中被发现,它是一类不符合传统凝聚态研究范式的物态,不能用传统的Landau理论进行描述,因而研究者在量子霍尔效应的研究中引进了拓扑这一概念。近年来,随着对能带体系和自旋耦合效应的研究,拓扑绝缘体相在理论上被预言,并且在实验上得到了证实。拓扑绝缘体相的体能带是打开能隙的,然而在边界上存在拓扑保护的边界态。后来发现材料中同样可以存在体能带无能隙的所谓拓扑半金属相。这类半金属材料的体能带存在节点或节线。通常,存在节点的体系叫做Weyl半金属或者Dirac半金属,存在节线的体系叫做拓扑节线半金属。对称性在这样的体系中起了很重要的作用,它保护了这种拓扑结构的稳定。本论文讨论如何通过一种原创的模型构造方法,来构造具有各种拓扑结构的节线半金属模型,并研究拓扑节线半金属材料的拓扑属性及其量子输运性质。以下是本文的行文结构。第一章,介绍了Berry相位这一概念,并且讨论它与体系拓扑的关系,以及由体系拓扑所引发的物理效应。进一步,我们介绍了Weyl半金属相,考虑了对称性如何保护其拓扑结构。接着,还简单讨论了Weyl半金属的手征反常和由它的表面态引发的物理效应。第二章,根据体系对称性,我们介绍并讨论了具有各种不同对称性的节线半金属相,接着还说明了如何由节线拓扑结构导致的边界态。最后,我们罗列了一些实际的节线半金属材料并进行了简单的讨论。第三章,引进了一个构造节线圈半金属模型的方法,运用这个方法,我们构造了一个可以统一描述节线网(nodal-net),节线链(nodal-chain),和Hopf纽结(Hopf-link)的两能带体系,并讨论了Hopf纽结半金属与Hopf绝缘体的联系,以及它在电磁场中产生的一些物理效应(Landau能级和Floquet态)。第四章,我们引进了一种波函数计算输运的方法,来解决格点体系的节线半金属量子输运问题。这种方法与传统的Green函数方法相比,具有更简单的计算结构。当我们把节线半金属放在两个普通金属之间,组成输运结时,发现这个输运结的性质与节线圈和界面所成的角度有关。特别是当节线圈与界面平行时,透射电子流是近乎完全自旋极化的。我们所得到的结论不仅存在于我们研究的模型中,还可以推广到更一般的节线半金属体系中。第五章,我们介绍了非厄米体系中拓扑相最近的研究现状,并讨论了非厄米体系的连续谱条件。同时我们研究了具有不同Chern数的Weyl半金属模型在非厄米效应下,体系的非厄米能带结构和边界态的变化。最后简单讨论了如何在非厄米体系实现Hopf纽结半金属相。第六章,对本文进行了总结,并讨论了接下来可以开展的研究。