【摘 要】
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关于幂等矩阵线性组合的幂等性的研究对于变量服从正态分布的二次型的分布理论有非常有用的应用，所以幂等矩阵或立方幂等矩阵线性组合等相关问题很值得研究，近几年来已经产生了
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关于幂等矩阵线性组合的幂等性的研究对于变量服从正态分布的二次型的分布理论有非常有用的应用，所以幂等矩阵或立方幂等矩阵线性组合等相关问题很值得研究，近几年来已经产生了许多与此相关的文献。
本研究受到K．Baksalary的[1]的启发．[1]描述了T= c1T1+c2T2是立方幂等矩阵时的所有情形，其中ci，i=1，2是非零复数，Ti，i=1，2是非零可交换的立方幂等矩阵。[1]的结论在特征不为2，3的任意整环上仍然成立。最近，文献[2]对[1]中主要定理给出了新的证明。本文的目的是描述两个立方幂等矩阵的线性组合c1T1+c2T2是单位阵和对合阵时的所有情形，需要强调的是本文是在任意的整环R上考虑的问题。在研究单位阵的情形时去掉了[1]中T1T2=T2T1这个前提条件。本文第2章中给出了两个不同的立方幂等阵T1和T2的线性组合是单位阵时的所有情形，必要性的证明分为chR=2和chR≠2两种情况进行的讨论。本文第3章给出的是两个不同的立方幂等阵的线性组合是对合阵时的所有情形，必要性的证明也分为chR=2和chR≠2两种情况。本文的研究方法主要是利用立方幂等阵的相似标准型．由于特征为2时立方幂等矩阵的相似标准型比较麻烦一些，所以研究起来也稍困难一些。
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