【摘 要】
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本文共分四部分.第一部分是引言,主要介绍了椭圆偏微分方程解的几何刻画这一研究课题的发展及取得的相关成果,提出了本文主要研究问题,分别在二维和三维空间中讨论了一个具体
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本文共分四部分.第一部分是引言,主要介绍了椭圆偏微分方程解的几何刻画这一研究课题的发展及取得的相关成果,提出了本文主要研究问题,分别在二维和三维空间中讨论了一个具体的平均曲率型方程解的水平集的高斯曲率估计.第二部分是预备知识,简要介绍一些相关定义以及定理证明中用到的基本符号.在这一部分,分别给出R2,中曲线的曲率和R3,中曲面的高斯曲率,函数的水平集,曲率矩阵以及极值原理等有关的理论.第三和第四部分分别在二维和三维的情形下证明了平均曲率型方程水平集凸性的曲率估计.方法都是通过构造一个辅助函数,利用极大值原理来刻画椭圆偏微分方程解的水平集的几何性质,最终我们得到：假设Ω是R2或者是R3中的有界光滑区域,u∈C4(Ω)∩C2(Ω),并且u是平均曲率型方程在Ω中的一个解.设在Ω上,有|▽u|≠0,并且u的水平集关于▽u是严格凸的.设K是u的水平集的曲率或高斯曲率,则|▽u|-2K的极小值在边界上达到.
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