本文讨论了三类不同的非线性椭圆型方程Dirichlet问题。一为含临界指数的调和问题，二为含临界位势的调和问题，三为含Sobolev-Hardy临界指数的半线性奇异椭圆型方程多解问题.作者用循序渐进的方法，建立了三类对应于Dirichlet问题的不等式，为这些问题非平凡解的存在性理论创造了先决条件。 本文讨论的第一类含临界指数的调和问题，主要是利用山路引理和集中紧性原理来解决的。作者在Ω() RN空间考虑，运用Sobolev-Hardy不等式，P.L.Lions集中紧性原理，山路几何，证明了方程至少有一个非平凡解u∈H01的结论。 对于第二类含临界位势的非线性椭圆型方程Dirichlet问题解的存在性。就目前的国内外研究情况所知，当维数N≥3时，类似问题已经被广泛研究，但对N=2带有Dirichlet问题的调和算子的临界位势问题研究的甚少。在文章中，我们不仅给出了所研究的问题中Hardy不等式的常数C的最佳证明，而且还找出了符合这一最佳常数的达到函数，说明“最佳”其实只是常数的不可改进，而并非不等式的不可改进。通过添加低阶的甚至是线性的Lp模，不但使得不等式趋于完美，同时也为高阶调和算子的临界维数问题的处理提供了一种方法。同时，本文还证明了一个含权不等式(其中的常数是最佳的，而且奇性的阶还是最高的)，由此得到当N=2时，含临界位势的非线性椭圆方程是|x|-2 ln2 |R/x|。最后，再一次利用Sobolev-Hardy不等式，证明了在所给定的空间中，问题解的存在性。 在第三类含Sobolev-Hardy临界指数的半线性奇异椭圆型方程的多解问题中，为了证明它的多解，我们运用了反正法，Brezis-Lieb引理和没有(PS)条件的山路引理来证明两个解(-u)和(u_)的存在性。