【摘 要】
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分形理论创始于70年代,其理论基础是Hausdorff维数与测度.Hausdorf维数与测度是分形几何的两个基本概念,也是非线性科学的重要理论课题.虽然Hausdorff维数的计算与估计取得了许多有意义的成果,但是Hausdorff测度的计算与估计的进展却很缓慢,其难度相当大.目前研究的比较成熟的是满足开集条件的自相似集,其Hausdorff维数的计算已完美解决,但Hausdorff测度的研究进度
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分形理论创始于70年代,其理论基础是Hausdorff维数与测度.Hausdorf维数与测度是分形几何的两个基本概念,也是非线性科学的重要理论课题.虽然Hausdorff维数的计算与估计取得了许多有意义的成果,但是Hausdorff测度的计算与估计的进展却很缓慢,其难度相当大.目前研究的比较成熟的是满足开集条件的自相似集,其Hausdorff维数的计算已完美解决,但Hausdorff测度的研究进度缓慢,难度比较大.它们的困难不是简单的计算,而是人们对这种分形的认识远远不够深入,也就是说困难来源于数学基本理论.通常我们说自相似集有“无穷嵌套的自相似结构”,除此之外却一无所知,甚至连相关问题也提不出来.自相似集如同天体的黑洞,一丝光线都没有透露出来,像一块尚未开垦的处女地.基于此我们提出研究自相似集的结构,例如,点的微结构.上凸密度的概念为我们提供了至今唯一的研究这个问题的理论和工具,一类崭新的问题展现在人们面前,为有志者提供无限的用武之地.上凸密度与Hausdorff测度的计算关系密切,在某种意义下,上凸密度的计算与Hausdorff测度的计算等价.尽管这样,上凸密度和Hausdorff测度的计算仍是复杂而且困难的问题.本文共分为四章.第一章是综述部分,我们主要介绍了课题研究的目的和意义以及本文研究的主要内容和结果.第二章,我们构造了两种自相似分形集:广义Sierpinski地毯和广义三分Cantor集,因为它们都满足开集条件,所以容易求出它们的Hausdorff维数.根据部分估计原理等理论,得到了广义Sierpinski地毯的Hausdorff测度较好的上限估计值,并计算了广义三分Cantor集的Hausdorff测度的准确值.第三章,为了进一步研究自相似分形集的结构和性质,我们介绍了自相似集的相似压缩不动点的概念,求出了一些满足开集条件的自相似集的K阶相似压缩不动点,从而归纳猜想出了它们的相似压缩不动点.第四章,上凸密度与Hausdorff测度的计算关系密切,在某种意义下,两者的计算等价,所以我们介绍了上凸密度的基本概念和定义,研究了一些满足开集条件的自相似集,得到了上凸密度的较好的下限估计值.
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