本文研究一般Lévy型算子的遍历性及其相关问题,分成五部分。第一部分,我们给出一维Lévy型算子常返、正常返和指数遍历的充分条件。这些条件建立在同扩散算子的比较和广义生成元的Lyapunov条件基础上。根据Lévy测度的范围和可积条件,我们对充分条件进行了分类。同时,举例来说明这些条件的有效性,包括分数式Laplace算子和一般Ornstein-Uhlenbeck型算子。第二部分首先叙述一般Lévy型算子的两种典型表示形式,即积分微分算子表示和拟微分算子表示。利用这两种形式,我们得到Lévy型算子非爆炸和常返的充分条件。特别地,我们的结果推广了Chung-Fuchs关于Lévy过程的常返性准则。进一步,我们也给出Lévy型算子Feller连续的充分条件。在考虑遍历性问题时,对称马氏过程是重要的一类。因此我们需要研究马氏过程无穷小算子在L~2意义下的对称性问题。第三部分,我们得到了一般Lévy型算子具有对称测度的充分条件,并且构造出一些新的对称Lévy型算子的例子。第四部分考虑一维对称Lévy型算子(带Dirichlet边界)的Poincaré不等式。我们运用了一般对称马氏过程的主特征值变分公式和经典的Hardy不等式给出充分条件;运用了关于单调下降函数的Hardy不等式得到必要条件。另外,我们还给出一些有意思的例子和问题。在研究对称Lévy型算子时,判定何时Poincaré不等式成立是我们关心的问题之一.然而,正如我们在前几部分看到,这个问题的研究通常是不容易的。在最后部分,我们主要是建立泛函不等式和Lyapunov条件之间的关系。更精确地说,我们可以从经典的Lyapunov条件直接推出泛函不等式。这个途径对研究一般对称马氏过程同样适用,同时也沟通了第一部分与第四部分之间的联系。