【摘 要】
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Irving和Rattan给出了在循环平移分段线性边界控制下的格路个数的计算公式.他们的主要结论可以看作以下著名定理的一个推广:从点(0,0)到点(kn,n)且被直线x=ky控制的格路个数(
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Irving和Rattan给出了在循环平移分段线性边界控制下的格路个数的计算公式.他们的主要结论可以看作以下著名定理的一个推广:从点(0,0)到点(kn,n)且被直线x=ky控制的格路个数(当= 1时,就是Dyck路).另一方面,著名的Chung-Feller定理告诉我们,从(0,0)到(n,n)且恰有2k(k= 0,1,…,n)个步法在直线y=x上方的格路个数与k的选取无关,因此这样的格路个数为Catalan数Cn=1/n+1(?).本篇论文主要研究在格路边界对(P,a)下恰有k个瑕疵的格路个数.其中P是从点(0,0)到点(n,m)的一条格路,a表示n的一个弱m-分拆,若格路P有k个向右的步法在边界(?)a的上方,则称格路边界对(P,a)有k个瑕疵.我们通过构造一个双射证明了,对于任意一个给定的分拆a,将所有在循环平移分段线性边界(?)a控制下,满足上述条件的格路加起来恰好是(?).也就是说,我们把Ivring-Rattan公式推广到一个Chung-Feller类型的定理.我们还将此双射用于计算格路的双上升数目,从而得到更为细致的结果.
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