近年来,随着实验技术的发展和理论研究的深入,人们发现大量系统表现出反常输运和非标准统计行为,Lévy飞行就是其中重要的一类。由于存在大的跳跃,Lévy飞行不同于一般的布朗运动。其跳跃长度分布具有长尾渐进形式|x|-μ-1,这里0＜μ＜2为Lévy指数,因此其分布二次矩是发散的。对于随机运动的研究存在两种等价的理论,即Langevin方程和Fokker-Planck方程。研究Lévy飞行,需要利用新的方法,例如分数阶Fokker-Planck方程。在本文中,我们主要利用Langevin方程和分数阶Fokker-Planck方程研究Lévy飞行及其相关的问题。　　第一章综述了反常输运问题,并简要分析了Lévy飞行。　　第二章分别从Langevin方程和连续时间无规行走理论出发,介绍了利用两种方法推导描述Lévy飞行粒子概率密度函数所满足的分数阶Fokker-Planck方程的过程。　　第三章利用白Lévy噪声驱动的过阻尼Langevin方程及其对应的分数阶Fokker-Planck方程,讨论并比较了Lévy飞行在外势场中的行为。　　第四章将以往的过阻尼Lévy飞行推广到包含惯性项的Lévy飞行。通过解析求解分数阶Fokker-Palnck方程,首次得到惯性Lévy飞行粒子在线性势场和谐振子势场中坐标及速度概率分布的表达式,分析了阻尼系数对粒子动力学的影响。同时,通过数值求解Langevin方程,得到粒子在四次势中的定态分布,结果显示,对于一定的Lévy指数μ(1≤μ＜2),随着阻尼系数的减小,定态分布由双模态转化为单模态。最后,我们采用反应流法,得到了Lévy粒子从亚稳势中逃逸的稳定逃逸速率的解析表达式,发现稳定逃逸速率是Lévy指数的非单调函数。　　第五章发展了含Lévy噪声及非线性阻尼Langevin方程的蒙特卡罗模拟方法。我们发现,引入非线性阻尼项后,粒子速度及坐标的二次矩是有限的。在自由场中,粒子坐标二次矩正比于时间,这意味着粒子在自由场中为正常扩散。改变Lévy指数并不改变粒子的扩散行为,但其扩散系数会随Lévy指数的增大而减小。在谐振子势场中,粒子坐标和速度的二次矩趋于一个定值。　　第六章将白Lévy噪声驱动的动力学推广到色Lévy噪声情况,进而建立了关联Lévy飞行模型。通过求解分数阶Fokker-Planck方程,我们给出OULP驱动的粒子在谐振子势场中概率分布函数,发现其为Lévy分布且分布宽度由关联时间Tc决定。在四次势中,对于一个给定的Lévy指数1≤μ＜2,结果显示粒子定态分布的双峰结构随着关联时间的增大而变得明显。特别的,我们分析了关联Lévy棘轮模型产生定向流的机制,结果表明,定向速度流随关联时间Tc的变化不是单调的。在这个棘轮模型中,存在两种棘轮机制,一种是由噪声的长尾分布引起的闪烁棘轮效应,另一种是噪声关联引起的关联棘轮效应,两种棘轮机制的竞争导致粒子流的反转,表现了驱动Lévy噪声的非平衡性。　　第七章总结概括本文的主要研究结果,并进一步展望将来拟开展的工作内容。　　附录部分给出了正文中涉及的部分数学公式的定义和推导,同时也给出了色Lévy噪声驱动Langevin方程的数值模拟方法。