论文分成两个部分.第一部分属于可计算性理论的基础部分,第二部分是可计算理论的应用.在第一部分,我们研究经典可计算性理论的局部理论.我们希望我们的工作会对这个领域的研究有所促进.在第1章我们用Pinball-机方法证明存在不可计算的可计算可枚举集合A和C并且A<<,T>C使得对于每一个F≤<,T>A,C∩F≡wф.这改进了[12]中一些结果并且是[13)中间题7.18和7.19的部分解.在第2章,我们定义了处处反杯性质并且用树方法证明了每一个高的可计算可枚举度有处处反杯性质,这改进了Harrington的著名的反杯定理.值得指出的是,这是第一篇将working below技巧与0"结合的论文.Wisconsin大学教授Lempp和Berkeley大学教授Slaman均评价其为"a nice theorem."在第3章我们用2个0"方法解决了这一问题,从而给出了第四个可定义的理想.并且证明了非囿界度和不可成杯度共同生成的理想真包含于可成帽度生成的理想,从而给出第五个可定义的理想.这是迄今为止仅有的五个可定义理想.以上属于可计算性理论的基础部分.在第二部分,我们按照可计算可枚举实数的表示的层谱来研究实数.近来,越来越多的可计算性理论的专家被吸引到这个领域.澄清随机性概念是非常困难的但却非常根本的.基于Kolmogorov,Chaitin和Solovay的早期工作,Downey,Nies,Slaman以及很多其他的专家已经使得这一领域的研究取得了一些进展.但这些仅仅是冰山的一角,我们看到理论计算机科学的整个全新的领域正在浮现.