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迄今为止,李超代数及其相关课题的研究已成为数学中最活跃的领域之一.它们与李代数,同调,以及物理学等都有着密切的联系.在这篇论文里,我们主要研究了该领域的一些有趣的问题,除此之外,我们还研究了一种特殊的可解李代数,并对其进行了完全分类.下面,我们简单介绍一下本篇论文的主要内容.
第一章是简介,其中我们回顾了该论文研究中所需要的背景知识,介绍了我们所研究的具体问题,并简单列出了该论文的一些主要研究结果.
第二章主要介绍了Leibniz超代数及其(上)同调的基本定义,并给出了Leib-niz超代数的中心扩张问题的一些一般理论.
由于一个李超代数g同时也可以看作是一个Leibniz超代数,因此在第三章,我们用不同的方法研究了一般李超代数,二次李超代数,loop-like型李超代数的有平凡系数的Leibniz二上同调群(HL2(g,F)),分别给出了具体的表达式和相应的例子.有了这些结果,对于一些李超代数,我们不用复杂的计算就能很快的比较出它们在Lie范畴和Leibniz范畴内一维中心扩张的差别.
在第四章,我们研究了经典Yang-Baxter方程在李超代数中的算子形式,给出了超O-算子的定义和它与经典Yang—Baxter方程的张量形式之间的关系.我们的主要研究结果是定理4.1.根据这个结果,我们可以得到李超代数中的经典Yang--Baxter方程和左对称超代数的关系.特别的,对于李超代数中的经典Yang-Baxter方程存在着由左对称超代数构造的自然解.
在第五章,我们给出了所有具有仿filiform根基-N的有限维不可分解可解李代数,证明了该类可解李代数的维数至多为dim-N+3.