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在本文中,我们主要研究Steinberg李代数st(n,R)和Steinberg李超代数st(m,n,R)的泛中心扩张问题,也就是要计算它们的二阶同调群H<<2>(st(n,R))以及H<,2>(st(m,n,R))的结构.
Steinberg李代数st(n,R)及其泛中心扩张等问题被Bloch[B1],Kassel-Loday[KL],Kassel[Ka],Faulkner[F],Allison-Faulkner[AF],Berman-Moody[BM],Gao[G1,2]和Allison-Gao[AG]等人做过许多研究.这些研究与根系分次李代数以及代数K-理论等方向都有紧密的联系.在多数情形下Steinberg李代数st(n,R)都是特殊线性李代数sl(n,R)的泛中心扩张,且扩张的核同构于R的第一循环同调群H<,1>(R)且有H<,2>(st(n,R))=0.在[B1]和[KL]中,已经证明了当n≥5时,有H<,2>(st(n,R))=0。
在本文的第3章中,我们计算出了当n=3,4时,H<,2>(st(n,R))的结构,看到它不一定为零,当K的特征较小时.由此,我们得到本文的第一个主要定理.
定理1:设K是一个含么的交换环,而R足一个含么的结合的K-代数.假设R有一组K-基包含了单位元.那么有这里,对K上结合代数R,Rm(m∈N U{0})的定义详见第3章的第2节.
类似于Steinberg李代数st(n,R)的理论,A.V.Mikhalev和i.A.Pinchuk在[MP]中研究了Steinberg李超代数st(m,n,R),它是特殊线性李超代数.sl(m,n,R)的一个中心扩张.他们在文中证明了当m+n≥5时,st(m,n,R)是sl(m,n,R)的泛中心扩张,且中心扩张的核同构于(HC<,1>(R))<,0> (0)<,1>.在本文中,我们将看剑,有必要对中心扩张核的Z<,2>-分次做一下强调.
在本文的第4章中,我们研究了当m+n=3,4时的情形,这又可以分为三种情形m=2,71,=1,m=3,n=1和m=2,n=2.文中分别计算了这三种情形时H<,2>(st(m,n,R))的结构,得到本文的第二个主要定理.
定理2:设K是一个含么的交换环,而R是一个含么的结合的K-代数.假设R有一组K-基包含了单位元.那么有……这里,H<,2>(st(m,n,R))是一个Z<,2>-分次空间.