框架的概念由Duffin和Schaeffer在1952年提出,经由Daubechies, Grossman以及Meyer发展而被众多学者研究。从那时起,框架理论就成为应用方面的一个重要工具.框架由于其冗余性使得在某些特殊的场合比标准正交基更加灵活,这样使得它在信号处理方面能够起到很好的作用。 采样在信号处理和图像处理是一个最基本的问题,由于一个实际信号不可能从头到尾的把每一个点的值都记录下来,只能记录下某些采样点的值.所以如何从这些采样点去恢复或者逼近实际信号就变得非常重要。Shannon采样定理考虑了频谱有限函数空间上的均匀采样问题,但是在现实世界中,很多信号并不是频谱有限的,而且由于设备仪器的限制和储存信息的丢失,采样点并非均匀的,采样点的值也并非是精确的,所以非均匀采样变得非常重要起来。 平移不变子空间是研究采样定理时经常使用的模型,孙文昌和周性伟证明了在某些条件下,就能够从采样点的局部平均来重构原函数.在第三章中我们证明了另一个事实,我们不需要均匀的采样点,只要采样点集X={xj:j∈Z}满足δ≤xj+1-xj≤△,这些采样点就是此平移不变子空间的采样集。Aldroubi,Q.Sun和W.Tang用另一种条件也得到了类似的结果,不过他们没有得到精确的上下界的表达式.对于更一般的子空间,即加权平移不变子空间,冼军和李松证明了当采样点集和平均函数满足一些条件时,采样点集X={xj:j∈Z}就是此加权平移不变子空间的采样集.在第四章中,我们的条件更为统一,并且改进了他们的方法,使得证明更为简单。