【摘 要】
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现代科学、社会、工程等领域中,越来越多大规模高维数据需要分析处理,例如图像、视频、多媒体数据、生物信息数据等.这些高维数据通常具有较低的固有维度,因此探究代表这些高维数据本质的低维结构是至关重要的.低秩矩阵恢复问题应这一需要而产生,是近几年优化研究的热点之一.低秩矩阵恢复问题的目标是将观测数据分解为低秩部分和稀疏部分.秩函数和l0范数的非凸性使得该问题是NP-困难的,对其进行凸松弛可建立很好的理论
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现代科学、社会、工程等领域中,越来越多大规模高维数据需要分析处理,例如图像、视频、多媒体数据、生物信息数据等.这些高维数据通常具有较低的固有维度,因此探究代表这些高维数据本质的低维结构是至关重要的.低秩矩阵恢复问题应这一需要而产生,是近几年优化研究的热点之一.低秩矩阵恢复问题的目标是将观测数据分解为低秩部分和稀疏部分.秩函数和l0范数的非凸性使得该问题是NP-困难的,对其进行凸松弛可建立很好的理论结果.然而,当稀疏矩阵中非零元素的指标集不满足均匀分布时,针对凸模型设计的算法求解实际问题时效果并不理想.因此,本文研究低秩矩阵恢复问题的非凸模型,并利用矩阵分解思想分解低秩变量,减少约束条件的规模.进而在交替方向法的框架下,提出求解该非凸问题的两种快速算法,并分析新算法的收敛性及数值试验结果.本文的基本结构如下:第一章阐述了低秩矩阵恢复问题的研究背景、基本原理以及该问题对应的数学模型,并简要说明本文的主要内容.第二章基于低秩矩阵恢复问题的非凸模型,设计非单调交替方向法.该算法交替求解关于低秩变量和稀疏变量的优化问题,在每步迭代中先采用变步长的梯度下降法更新低秩部分的变量,再利用非单调技术更新稀疏部分的变量.在一定假设条件下,我们证明了新算法的全局收敛性.第三章考虑交替方向法的独立性,我们进一步设计并行交替梯度方向法.在每步迭代中并行更新两部分低秩变量,且在更弱的假设条件下证明并行算法的全局收敛性.第四章求解随机产生的低秩矩阵恢复问题和视频前-背景分离的实例.试验结果表明并行化有效地提高了计算效率,且与现有凸优化方法相比,我们的方法也大大降低了计算成本.
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