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在解析数论中,研究自守L-函数系数的符号是一个非常有意义的课题.在本文中,我们主要考虑了以下三个问题:·自守L-函数系数在短区间(x,x+xr]上的变号问题;·自守L-函数系数在长区间[1,x]上的变号次数;·自守L-函数正负系数的个数.对于前两个问题,Meher和Murty[27]建立了与之相关的实数序列变号的一般性结果.因此,我们会将这两个问题放在一块讨论.接下来我们介绍本文得到的主要结果.令Hk*表示SL（2,Z）上权为偶整数k≥2的所有标准化的Hecke本原特征尖形式的集合.对f∈Hk*,其在尖点∞的傅里叶展式为f（z）=（?）λf（n）nk-1/2e（nz）,其中λf（n）是Hecke算子Tn对应的特征值.根据Deligne[4]证明的Ramanujan-Petersson猜想,我们有|λf（n）|≤d（n）.f∈Hk*对应的Hecke L-函数定义为L（f,s）=（?）λf（n）/ns=（?）（1-αf（p）p-s）-1（1-βf（p）p-s）-1,Re（s）＞1,其中αf（p）和βf（p）被称为局部因子,且满足λf（p）=αf（p）+βf（p）,|αf（p）|=|βf（p）|=αf（p）βf（p）=1.因此,对于每一个素数p,均存在唯一的θf（p）∈[0,π]使得λf（p）=eiθf（p）+e-iθf（p）=2 cos θf（p）.Murty[31]最先研究了 λf（p）在p∈(x,x+xθ]中的变号问题,这里θ是一个非常小的正数.他证明了在该短区间内,λf（p）至少有一次变号,并且对某些特定a＞0,λf（p）在 p ≤x 时至少有 axθ 次变号.之后,Meher,Shankhadhar 和 Viswanadham[29],Meher 和 Murty[28],以及 He[8]研究了序列{λf（nj）}n≥1（j=1,2,3,4）的变号问题.此外,Kumari 和 Murty[18],Gun,Kumar 和 Paul[7]分别得到了 λf（n）λg（n）和λf（n）λg（n2）的变号次数下界,其中f∈Hk*,g∈Hk1*是两个不同的非零尖形式.在第一章中,我们研究了 λf（nj）（j ≥3）与λf（ni）λg（nj）（i ≥1,j≥2）在短区间上的变号问题,以及其在长区间上的变号次数下界.并且,我们首次考虑了三个不同的自守L-函数系数的同时变号问题,即序列{λf（n）λg（n）λh（n）}n≥1的变号.定理1.1设f∈Hk*是一个非零尖形式,λf（n）是L（f,s）的系数.则对j≥3以及任意 r 满足 1-84/42（j+1）2-37＜r＜1,序列{λf（nj）}n≥1在n∈(x,x+xr]中至少有一次变号.特别地,对充分大的x,λf（nj）在n≤x时的变号次数＞＞x1-r.定理1.2设f∈Hk*,g∈Hk1*是两个不同的非零尖形式,λf（n）,λg（n）分别是L（f,s）和L（g,s）的系数.则对i≥1,j≥ 2以及任意r满足1-42/21（i+1）2（j+1）2-29＜r＜1,序列{λf（ni）λg（nj）}n≥1在n∈(x,x+xr]中至少有一次变号.特别地,对充分大的x,λf（ni）λg（nj）在n≤x时的变号次数＞＞x1-r.注记 定理1.1 改进了 Meher,Shankhadhar 和 Viswanadham 对于 j=3,4 的结果,定理1.2改进了 Gun,Kumar和Paul的结果.定理1.3设f∈Hk*,g∈Hk1*,h∈Hk2*,是三个不同的非零尖形式,λf（n）,λg（n）,λh（n）分别是L（f,s）,L（g,s）,L（h,s）的系数.则对任意r满足63/65＜r＜1,序列{λf（n）λg（n）λh（n）}n≥1在n∈（x,x+xr]中至少有一次变号.特别地,对充分大的x,λf（n））λg（n）λh（n）在n≤x时的变号次数＞＞x1-r.Matomaki和Radziwill[26]利用Halasz定理以及λf（n）的可乘性,证明了序列{λf（n）}n≥1中接近一半的非零λf（n）为正,一半为负,即（?）#{n≤x:λf（n）（?）0}/#{n≤x:λf（n）≠0}=1/2.在第二章中,我们研究了序列{λf（n）λg（n）}n≥1和{λf（n）λg（n）λh（n）}n≥1中正负系数的个数,并得到了与Matomaki和Radziwill类似的结论.定理2.1设f∈Hk*,g∈Hk1*是两个不同的非零尖形式,λf（n）,λg（n）分别是L（f,s）和L（g,s）的系数.则有（?）#{n≤x:λf（n）λg（n）（?）0}/#{n≤x:λf（n）≠0}=1/2.定理2.2设f∈Hk*,g∈Hk1*,h∈Hk2*是三个不同的非零尖形式,λf（n）,λq（n）,λh（n）分别是L（f,s）,L（g,s）,L（h,s）的系数.则有（?）#{n≤x:λf（n）λg（n）λh（n）（?）0}/#{n≤x:λf（n）λg（n）λh（n）≠0}=1/2.此外,利用模1 一致分布理论,Kohnen,Lau和Wu[15]证明了当θf（p）/2π是无理数时,（?）#{j≤x:λf（pj）（?）0}/x=1/2.随后,Amri[1]证明了当1,θf（p）/2π,θg（p）/2π在Q上线性无关时,（?）#{j≤x:λf（pj）λg（pj）（?）0}/x=1/2.在第二章中,我们考察了集合{j∈N*:λf（pj）λg（pj）λh（pj）（?）0}的元素个数.定理2.3设f∈Hk*,g∈Hk1*,h∈Hk2*是三个不同的非零尖形式,λf（n）,λg（n）,λh（n）分别是 L（f,s）,L（g,s）,L（h,s）的系数.如果 1,θf（p）/2π,θg（p）/2π,θh（p）/2π在有理数域Q上线性无关,则有（?）#{j≤x:λf（pj）λg（pj）λh（pj）（?）0}/x=1/2.