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经典的等周不等式、Bonnesen型不等式和Aleksandrov-Fenchel不等式是几何学中非常重要的不等式.n维欧氏空间张域K的等周亏格△n(K)=An-nnωnVn-1。f其中A为凸体K的面积，V为K的体积，ωn为n维单位球的体积)刻画了几何体K和球之间的差别程度.Hadwiger、Osserman、Klain、Bottema、Zhou等都曾致力于用积分几何的方法研究等周亏格的上界和下界.本文主要研究两个问题.第一，研究常曲率平面X2e中等周亏格的下界即Bonnesen型不等式.第二，利用著名的Aleksandrov-Fenchel不等式，研究欧氏空间Rn中两凸体K，L的对称混合位似亏格△i(K，L)和 Aleksandrov-Fenchel亏格△i(K).其中，Aleksandrov-Fenchel等周亏格是等周亏格的推广，Bonnesen型Aleksandrov-Fenchel不等式即.Aleksandrov-Fenchel亏格的下界是Bonnesen型不等式的推广。
常曲率平面X2e中域K的等周亏格为△e(K)=L2-4πA+eA2(其中A为区域K的面积，L为K的周长，e为常曲率平面的曲率，即e=0时为欧氏平面R2；e>0为射影平面PR2；e<0为双曲平面H2e)，Klain、Zhou和Chen用不同的办法得到了X2e中域K的等周亏格的下界.本文首先从一域包含另一域的包含测度思想出发，运用积分几何的基本运动公式，得到X2e中域K的等周亏格的两个下界，这些下界加强了Zhou，Chen的结果.主要结果如下：其中，ri和re分别为K的最大内接测地圆半径及最小外接测地圆半径，等号成立当且仅当K为测地圆盘。
定理3.3.11设K为常曲率平面X2e中面积为A，周长为L的严格凸区域，则下列不等式成立：其中，ri和re分别为K的最大内接测地圆半径及最小外接测地圆半径，等号成立当且仅当K为测地圆盘。
其中，tne，cte的定义参见(3-37)和(3-38)。
著名的Aleksandrov-Fenchel不等式是Brunn-Minkowski理论中的重要内容。除经典的Aleksandrov-Fenchel不等式之外，Lutwak、Yang、Zhang等还得到各种形式的Aleksandrov-Fenchel不等式.本文利用经典的Aleksandrov-Fenchel不等式，探讨Aleksandrov-Fenchel等周亏格△i(K)=W2i(K)-Wi-1(K)Wi+1(K)(其中Wi(K)为凸体K的第i阶均质积分)和两凸体K，L的对称混合位似亏格△i(K，L)=V2i(K，L)-Vi一1(K，L)Vi+1(K，L)(其中Vi(K，L)为K，L的第i阶混合体积)，获得了Aleksandrov-Fenchel等周亏格的几个下界估计.作为它们的直接推论，得到了R2、R3中用投影体的宽度函数表示的等周亏格的下界.这有别于传统的用最大内接圆半径和最小外接圆半径表示的Bonnesen型不等式.本文最后根据混合体积的单调性，得到Aleksandrov-Fenchel等周亏格(等周亏格的推广)的上界.事实上，到目前为止关于等周亏格的上界估计的结果比较少.我们所得主要结果如下：定理4.2.10设K为欧氏空间Rn中的凸体,Wi(K)为K的第i阶均质积分.则其中,u∈Sn-1,u⊥为与方向u垂直的线性子空间,Ku为凸体K向u上的正交投影,wn—1(Ku)为Ku的平均宽度,其最大和最小值分别记成Wmax(Ku)和Wmin(Ku). 定理4.3.2设K为欧氏空间Rn中的凸体,Wi(K)为K的第i阶均质积分.如果1≤i≤n-1,则△i(K)=Wi2(K)—Wi+1(K)Wi-1(K)≤Wi+1(K)Wi(K)(R(K,B)—r(K,B)),其中,r(K,B)和R(K,B)分别为K的相对最大内接圆半径和相对最小外接圆半径.