【摘 要】
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在现代数学中,非线性泛函分析是一个具有重要理论意义和应用价值的研究分支,其研究成果广泛地应用于生物学、化学、经济数学、物理学和医学等学科中的实际问题（见文献[1-9]等）.而非线性算子的不动点理论为解决应用学科中提出的各类非线性微分方程和积分方程提供了有力的理论方法,因此对抽象空间中的非线性算子减弱（或去掉）紧性条件是一件非常有意义的工作.锥拉伸与锥压缩不动点定理在研究积分方程、微分方程、积微分方
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在现代数学中,非线性泛函分析是一个具有重要理论意义和应用价值的研究分支,其研究成果广泛地应用于生物学、化学、经济数学、物理学和医学等学科中的实际问题（见文献[1-9]等）.而非线性算子的不动点理论为解决应用学科中提出的各类非线性微分方程和积分方程提供了有力的理论方法,因此对抽象空间中的非线性算子减弱（或去掉）紧性条件是一件非常有意义的工作.锥拉伸与锥压缩不动点定理在研究积分方程、微分方程、积微分方程等超线性方程非零解的存在性、多重解以及固有值固有元的整体结构等问题中发挥着重要的作用.关于两算子和的锥拉伸与锥压缩不动点问题,国内外学者都进行了研究,并得到了许多重要的结果,但是已有结果中的两算子大多是全连续算子和压缩（或扩张）算子的情形.在本文中,基于应用的广泛性,将算子的范围从全连续算子扩大到集压缩映像,得到了关于集压缩映像的两算子和的锥拉伸与锥压缩型不动点定理,即其中一个算子是集压缩映像,另一个算子是压缩算子或扩张算子或Lipschitz映射,推广了相应的锥拉伸和锥压缩不动点定理与Krasnosel’skii不动点定理.为了表明所得不动点结果的有效性和适用性,本文研究了几类方程解的存在性,即将得到的不动点定理应用于Krasnosel’skii型特征值问题、参数方程、Hammerstein型和Volterra型积分方程等问题.文章的构成如下:第一章为绪论,主要介绍了锥拉伸与锥压缩不动点定理以及两算子和的不动点定理的研究背景和相关结果,概括叙述了本文的主要工作.第二章是预备知识,首先给出了锥的相关知识以及各类算子的定义和性质,包括非紧性测度、（严格）k-集压缩映像、凝聚映像、压缩算子和扩张算子等,其次介绍了几个推广的锥拉伸与锥压缩不动点定理.第三章和第四章是本文的主要内容.第三章基于Krasnosel’skii不动点定理的内容,利用单算子的锥拉伸与锥压缩型不动点定理,得到了两算子和的锥拉伸与锥压缩不动点定理,其中一个算子是压缩或扩张算子,另一个算子是k-集压缩映像,并将得到的不动点定理应用于Krasnosel’skii型特征值问题、参数方程以及Hammerstein型积分方程的正解问题,得到解的存在性.第四章基于压缩算子是特殊的Lipschitz映射,扩大对算子的研究范围.利用Lipschitz映射的一些特殊性质,改进第三章得到的不动点定理,证明了另一类两算子和的锥拉伸与锥压缩型不动点定理,其中一个算子是Lipschitz映射,另一个算子是严格k-集压缩映像,并将不动点定理应用于一类扰动的Volterra型积分方程,得到解的存在性和唯一性.
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