可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程描述了一类具内部毛细作用的可压缩粘性流体的运动规律.它起源于J. D. Van der Waals [1]和D. J. Korteweg[2]在十九世纪末和二十世纪初的开创性工作,但直到上世纪80年代才由J. E. Dunn和J. Serrin[3]使用二阶梯度理论严格推出.自从可压Navier-Stokes-Korteweg方程被建立以来,由于所描述的现象的复杂性以及方程组的高度非线性性,关于该方程组的数学理论的研究给数学工作者提出了许多具有挑战性的数学问题,受到了许多数学工作者的关注.目前对这一方程定解问题的整体适定性的研究已经有许多优秀的研究成果,但是都集中在整体解是某一常数状态这一平凡的profile的小扰动的情形,对于该方程组所描述的一些非平凡profile,例如稀疏波、行波、接触间断、静态解、时间周期解等,的非线性稳定性,就我们所知,相关的研究还不多见.本文研究可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程所描述的一些非平凡profile,例如稀疏波、行波解、接触间断、静态解、时间周期解等,的非线性稳定性,所得主要结果包含以下三个部分：第一部分(这是本文第二章的主要内容)研究Lagrange坐标下一维可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程基本波的非线性稳定性.即研究如下Lagrange坐标下一维等熵的可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程Cauchy问题行波和稀疏波的非线性稳定性以及一维非等熵Navier-Stokes-Korteweg方程Cauchy问题粘性接触间断波的非线性稳定性.这里v>0,u,P,e,θ>0分别表示流体的比容,速度,压强,单位质量的内能和绝对温度.常数μ,κ和α分别为粘性系数,毛细系数和热传导率.v±>0,u±和θ±>0表示给定的常数.首先,我们利用相平面分析的方法证明了方程组(0.0.1)1,2行波解的存在性.其次,利用L2能量方法,我们证明了小初值挠动下Cauchy问题(0.0.1)弱行波和强稀疏波以及Cauchy司题(0.0.2)弱粘性接触间断波的时间渐进非线性稳定性.这里弱(强)行波(稀疏波,粘性接触间断波)是指行波(稀疏波,粘性接触间断波)的强度小(大).第二部分(这是本文第三章的主要内容)研究如下三维非等熵的可压Navier-Stokes-Korteweg方程组静态解的存在唯一性以及非线性稳定性.这里(t,x)∈R+×R3,ρ>0表示流体的密度,G(x),F(x)和H(x)分别表示给定的质量源,一般形式的外力和能量源.粘性应力张量S和Cauchy应力张量T分别由下式给定：其中μ,μ’为粘性系数,I表示n×n。阶单位矩阵,(▽u)T表示矩阵▽u的转置W=-κρ▽· υ▽ρ+κ▽·(G(x)▽ρ)是间隙作用流.其余变量的物理涵义同问题(0.0.2)中的相应变量.这里我们假设系数μ,μ’,α和κ均为常数.首先,利用加权L2方法和压缩映像原理,在G(x),F(x)和H(x)的一些小性假设下,我们证明了方程组(0.0.3)1,2,3静态解的存在唯一性.其次,利用基本的能量方法以及方程组(0.0.3)1,2,3的内蕴结构,我们在H3框架中证明了Cauchy问题(0.0.3)静态解的非线性稳定性.第三部分(这是本文第四章的主要内容)研究如下n维等熵的可压Navier-Stokes-Korteweg方程时间周期解的存在性,非线性稳定性和衰减率.这里(l,x)∈R+×Rn,u=(u1,u2,…,un)∈Rn,f(t,x)=(f1(t,x),f2(t,x),...,fn(t,x))是给定的关于t以常数T>0为周期的外力,ρ。o>0是一个给定的常数,其余变量的物理涵义同问题(0.0.3)中的相应变量.利用L2能量方法和方程组(0.0.4)的线性化方程解的衰减估计,在n≥5及外力f的一定小性假设下,我们证明了方程组(0.0.4)的时间周期解的存在唯一性.此外,我们用能量方法证明了时间周期解的非线性稳定性和时间衰减率.