【摘 要】
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设n为正整数,σ-(n)表示n的所有正因数的和,γ(n)表示n的无平方因子核,即n的所有不同素因子的乘积.这里γ(1)=1.2000年,DeKoninck提出如下猜想：n=1和n=1782是方程σ(n)=γ(n)2
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设n为正整数,σ-(n)表示n的所有正因数的和,γ(n)表示n的无平方因子核,即n的所有不同素因子的乘积.这里γ(1)=1.2000年,DeKoninck提出如下猜想：n=1和n=1782是方程σ(n)=γ(n)2仅有的正整数解.2012年,Broughan和De Koninck证明了：满足σ(n)=γ(n)2的大于1的正整数n一定具有如下形式其中a为正整数,及p均为奇素数,αi (i= 2,..., s)是偶数,或者且α1是偶数.2014年,Broughan等人在J. Number Theory上证明了：n至少能被一个奇素数的四次方整除.我们称满足的正整数n为De Koninck数.本文对De Koninck数进行更深入的研究.当n≠1,1782,且n的标准分解式中方幂为1的奇素因子只有一个时,我们将这个素因子设为p,得出如下结论：(1)n能被3整除；(2)n至少能被两个奇素数的四次方整除；(3)p≥1571,且n至多有两个不同素因子大于p；(4)在n的标准分解式中,至少有两个奇素数的方幂为2.上述结果已经发表在Journal of Number Theory 154 (2015),324-364.
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