本文主要讨论微分动力系统中的一类重要的系统—哈密顿系统的平衡点附近的动力学．在本文的第二章中，我简要地介绍了哈密顿动力系统中的一些基本的概念，并进一步介绍了关于近可积系统的几个最经典的结果：Lyapunov中心定理，经典KAM定理，低维环面KAM定理和无限维KAM定理． Lyapunov定理告诉我们，只要其他频率不是周期轨在平衡点频率的整数倍，这些周期轨将在扰动下保存下来．由于Lyapunov定理考虑的是周期轨的保存性，并不涉及到小分母问题．注意到Lyapunov中心定理对非线性项的形式没有限制． 如果研究平衡点附近拟周期解的存在性，K A M理论是有力的甚至是唯一的方法．在经典KAM理论和低维环面KAM理论中，考虑的是维数≥2的环面的保存性，不可避免的会碰到小分母问题．为了解决这个困难，人们必须对哈密顿系统作非退化假设．一开始,人们加的是Kolmogorov非退化条件：未扰动频率映射是局部微分同胚．后来，这个条件被改进为Rüssmann非退化条件：未扰动频率映射的像集不落在任何过原点的超平面上． 为了将KAM定理运用到平衡点附近，除对λ必须加一定的限制外，还需要用规范形理论对相应的哈密顿函数作有限次标准形变换，得到如下哈密顿函数H=＜λ，I＞+h(I)+P，Ii=1/2(x2i+x2i+n)，i=1，…，n，至少满足Rüssmann非退化条件的时候，我们才能由KAM定理得到n维环面的保存性．这就对方程(1.1)的高阶项作了限制．这个限制使得人们不能对任意的高阶非线性扰动得出结果． 对解析Hamilton系统，为了得到平衡点附近的拟周期解的存在性，我们是否一定要对非线性扰动加限制?这个问题是本文关心的中心问题． Herman在[H1]中猜测：在椭圆平衡点附近，对一个具有Diophantine频率的2n-维线性可积系统，作高阶的实解析扰动，大多数的n-维环面会被保存下来．到现在为止，这仍然是个公开问题． 在椭圆平衡点附近，对给定的2n-维线性可积系统，作高阶的实解析扰动，如果不加非退化条件，我们还可以考虑r维环面的存在性问题(1＜r≤n)．这可以看作是Lyapunov中心定理(r=1)的推广．这个问题比Herman猜测(r=n)更一般． 在第三章中，我们考虑了r=2的情形．证明了：在椭圆平衡点附近，对给定2n-维线性可积系统，如果其频率有理无关的并且存在两个频率满足小分母条件(3.2)和(3.3)，则对任意的高阶实解析扰动2维不变环面总是存在的。在这些2维不变环面上系统作拟周期运动． 关于哈密顿偏微分方程周期解和拟周期解的存在性，已经有了大量的工作．Wayne，Kuksin，Poschel给出了1维哈密顿偏微分方程在狄氏边值条件的KAM定理，证明了Cantor簇拟周期解的存在性以及解的线性稳定性．哈密顿偏微分方程在周期边界条件下拟周期解的存在性，先是由Craig—Wayne—Bourgain的方法给出的。但用这个方法得不到拟周期解的线性稳定性．后来，Chierchia，耿建生，尤建功和梁振国给出了一些在周期边界条件下的KAM定理． 对固定位势的偏微分方程，人们必须对高阶非线性项作了明确的限制，以保证可以用标准形理论由高阶非线性项产生扭转(非退化)．通常人们假设三次非线性项存在．如果不对高阶实解析非线性项作特别的限制，那么我们无法从非线性项中导出扭转．因此无法应用经典的KAM． 在第四章中，我将第三章的结果推广到无限维，并且给出其在波动方程中的应用．