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本文首先回顾了常微分方程理论，特别是可积性理论的发展历史及研究现状，介绍了Liouville可积的相关概念与定义，以及形如dy/dx=∑ni=0fi(x)yi的“方程在线性变换群下的不变量”等概念，在此基础上集中讨论了第一类Abel方程Liouville可积性的判定问题.文章的主要内容和具体结果包括如下几个方面：(1)对目前已知的文献(即文献[1]和文献[2])中所给的几类可积方程进行逐一讨论，利用文献[3]给出的一般二阶多项式自治系统Liouville可积的充要条件，给出了上述文献中所讨论的几类可积方程的积分因子所具有的特征，即引理2.2.4中的二元多项式φ2(x，y)关于y的次数最高是3；(2)给出了当φ2(x，y)关于y的次数是1时，方程是Liouville的充要条件，即f0(x)+2/27f32(x)/f23(x)-f1(x)f2(x)/3f3(x)+(f2(x)/3f3(x))=0具体内容详见文中的定理4.1.1；(3)给出了当φ2(x，y)关于y的次数是2时，方程是Liouville可积的必要条件，即方程的系数之间需要满足下式：f0(x)+2/27f32(x)/f23(x)-f1(x)f2(x)/3f3(x)+(f2(x)/3f3(x))=f3(x)w3(x)I(x)其中w(x)=Exp(∫(f1(x)-f22(x)/3f3(x)dx),I(x)=9C2/[2(9C1-1)∫w2(x)f3(x)dx]3/2.(C1是任意常数)具体内容详见文中的定理4.2.1及其证明；(4)进一步指出，(3)中的判别式也是某些方程当φ2(x，y)关于y的次数是3时方程Liouville可积的充分条件.即如果方程的系数之间满足上式，则方程一定是可积的.但当且仅当C1=1/36或C1=-2/9时，原方程才存在2次的φ2(x，y)，当C1取其它值(除去0)时，原方程都存在3次的φ2(x，y).
(注：取C1=0时就是定理4.1.1即φ2(x，y)关于y是1次的情况.)总之，本文澄清了第一类Abel方程在线性变换下可积与引理2.2.4中的函数φ2(x，y)关于y的次数之间的关系，更重要的是在其中两种情况下分别给出了这类方程Liouville可积的简单判别式.这有利于通过编制程序，利用计算机直接判定方程的可积性.