【摘 要】
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本文,我们研究与量子物理、量子信息相关的算子函数和算子不等式理论等相关问题.我们讨论多元正则算子函数的广义透视映射的相关性质,Lieb-Ruskai凸性定理,一类新的算子凸（凹）函数及其Frechet微分映射,Peierls-Bogolyubov不等式以及算子平均不等式.我们的主要内容如下:第1章,简述了相关课题的研究背景,包括:基本概念,基本的算子理论、量子摘不等式以及矩阵凸凹性定理的研究历史.
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本文,我们研究与量子物理、量子信息相关的算子函数和算子不等式理论等相关问题.我们讨论多元正则算子函数的广义透视映射的相关性质,Lieb-Ruskai凸性定理,一类新的算子凸（凹）函数及其Frechet微分映射,Peierls-Bogolyubov不等式以及算子平均不等式.我们的主要内容如下:第1章,简述了相关课题的研究背景,包括:基本概念,基本的算子理论、量子摘不等式以及矩阵凸凹性定理的研究历史.此外,还介绍了本文的主要结果和创新点.第2章,讨论算子透视映射的一些基本性质并引入多元正则算子函数的广义透视映射的概念.我们指出Ebadian-Nikoufar-Gordji关于算子凹（凸）函数的透视映射工作的一些瑕疵,并给出我们正确的结论.此外,基于Hansen的正则算子映射的概念,我们引入了广义的透视映射的概念,它结合了一个多元正则算子映射和一个一元正则算子映射.我们讨论了此广义透视映射的一些基本性质.最后,我们给出透视映射在量子熵不等式中的一些应用.第3章,我们考察Lieb-Ruskai凸性定理.我们将该定理推广到一个和算子单调减的正函数相关的形式.同时也研究了 Lieb-Ruskai凸性定理的多元推广问题,及B*A-1B在完全正映射下的单调性的等价命题.第4章,我们得到一类新的二元算子凹（凸）函数并且得出了与某些指数函数的Frechet微分映射相关的迹函数的凸凹性.进一步,我们通过透视映射方法探讨了某些关于可交换变量的三元或四元函数的凸凹性.作为上述理论的应用,我们探索了Frechet微分映射x→dg（x）*df（x）1在正定可逆矩阵中的凸凹性,其中f（t）=tp（0<p≤1）并且g（t）=tq（p≤q≤p+1）.第5章,我们建立了一些新的算子迹不等式,并且将著名的Peierls-Bogolyubov不等式进行了推广,得到了该不等式的参数化形式.此外,本章还通过适当的变分公式构造并证明了一个参数化的Lieb凹性定理.第6章,研究算子平均不等式的相关课题.首先,我们通过多元正则函数的透视方法建立了多元算子加权几何平均的概念,并且验证了该多元算子加权几何平均满足某些很好的性质.其次,我们运用双曲函数的Taylor展开式得到了一系列关于Heinz算子不等式的推广.最后我们研究了 Jensen-Mercer指数平均Qr,α（a,b,x）s并且证明不同权重序列下的Jensen-Mercer指数平均Qr,α（a,b,x）s的差是可以进行大小比较的.
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