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本文主要研究系数为亚纯函数的线性复差分方程的亚纯解及亚纯函数差分多项式弱分担一个小函数的唯一性理论，全文共四章. 第一章绪论主要介绍Nevanlinna值分布理论的几个基本结果和重要记号;差分中的Nevanlinna理论;弱分担的概念. 第二章主要研究了复差分方程An(z)f(z+n)+…+A2(z)f(z+2)+A1(z)eα1zkf(z+1)+(A0(z)eα0zk+B0(z)eβ0zk)f(z)=0的亚纯解的问题，得到了更为一般的结论，改进了李和陈的结果.然后进一步研究了差分方程ak(z)f(z+k)+…+a1(z)f(z+1)+a0(z)f(z)=0的亚纯解的性质，同时考虑与上述方程对应的非齐次线性差分方程an(z)f(z+n)+…+a1(z)f(z+1)+a0(z)f(z)=F(z).的亚纯解的性质，F(z)((≠)0)是一个亚纯函数，把刘和毛的结果中的整系数扩展为亚纯系数. 第三章首先研究了有限级亚纯函数f(z)和g(z)的差分多项式弱分担一个非零小函数的唯一性问题，即f(z)n(f(z)m-1)f(z+c)和g(z)n(g(z)m-1）g(z+c)分担“（a，k）”时，分别讨论了k≥2，k=1及k=0三种情况下，f和g之间的关系;同时分析了当f(z)和g(z)为整函数时的简单情况，改进了林的结果. 第四章主要研究整函数的差分算子弱分担小函数的唯一性.假设f(z)和g(z)是有限级的超越整函数，a(z)∈S(f)∩ S(g)，a(z)(≠)∞且a(z)不取0值.若c是一个非零复常数，k是一个正整数且满足k≥2.如果f(z)n(f(z)m-1)△cf(z)和g(z)n(g(z)m-1)△cg(z)分担“(a，k)”且n≥m+7，那么f(z)≡tg(z)，其中tm=1.然后用另一种方法证明若f(z)n(f(z)m-1）△cf(z)和g(z)n(g(z)m-1)△cg(z)分担a(z) CM时，f和g的关系.