代数簇的纤维化是代数几何中的重要研究对象,一方面,它将高维的问题降为低维的问题,这里反映的是局部整体的关系,即通过纤维了解全空间代数簇的性质；另一方面,它给数论提供了几何类比,即数域和函数域之间的类比。本文主要目的是研究有理曲线上的代数曲面半稳定纤维化的奇异纤维的最小个数问题,即Szpiro问题。1980年,Beauville首先在该问题上取得了实质性进展。这个问题本质上租Arakelov不等式有密切联系。 Szpiro希望了解半稳定线束f:S→P1中临界点的最小个数s[27]。Beauville 证明了s≥4,并对任意的亏格g构造了s=6的例子。他猜想g≥2时,s≥5[6]。谈胜利利用典范类不等式证明了Beauville的猜想[28]。我们将证明除去-个可能的例外,当g≥18时s≥6,这个可能是C×P1的一个简单二次覆盖。 曲面S的复杂性也影响着临界点的个数。文[29]中证明了如果S的Kodaira维数非负,那么s≥6,并猜想S是一般型时,s≥7,我们将在g≥51时证实此猜想。 Arakelov不等式等号成立蕴含着一定的数论性质。g=1,s=4的半稳定线束可分成6族椭圆曲线模簇[7]。我们将利用第二章关于纤维的伴随线性系的一些结果说明仅有5个临界点的半稳定线束,且其Néron Model只有4个奇异纤维时,它必定是亏格为2的线束。 我们的方法是通过分析线形系｜Ks+F｜的基点和非常丰富性,这里Ks是曲面的典范除子,F是一条纤维。众所周知,Reider方法可以有效地分析线形系｜Ks+L｜,得到了关于正定线丛L的伴随线性系的著名定理[25],从而极大的简化了Bombieri多典范映射的工作。Mendes Lops在Francia工作的基础上研究了L半正定且1-连通的情形[21][12]。在半稳定纤维化上应用这些结果,我们将证明｜Ks+F｜的奇异基点正好是纤维中的可分离二重点。利用典范映射,Horikawa给出Noether直线K2S=2Pg-4上的一般性曲面的分类[15];结合Miyaoka-Yau不等式,Beauville对典范映射作出了更深刻的研究[5]。Kitagawa与Konno利用映射｜Ks+F｜研究有理曲面的纤维化,以此来得到Mordell-Weil格的一些性质[18]。类似地,通过分析｜Ks+F｜定义的映射,我们将对有理曲面上的具有小相对不变量的纤维化进行分类。 有限性定理与非临界点区域的双曲性紧密相连。由Miyaoka-Yau不等式或Schwarz-Yau引理导出的典范类不等式控制着曲线模空间弯曲程度[31],由Hodge结构的形变导出的最强的Arakelov不等式控制着阿贝尔簇的模空间的弯曲程度[32]。我们还将通过一个初等的方法得出相对解析欧拉示性数的计算公式,从而得到Arakelov不等式的一个新证明。