量子霍尔态的发现是凝聚态物理中的奇迹,这是首次将“拓扑”一词引入凝聚态物理之中。早在1988年,Haldane首次在蜂窝状格子上构造了一个无需外加磁场就能实现整数霍尔效应的模型,并用陈数来表征其拓扑性质。这种模型被称之为量子反常霍尔态或陈绝缘体。陈绝缘体态可以在不同边界条件下进行研究,比如周期性边界条件(游泳圈结构),一边周期一边开放的边界条件(柱面结构)以及完全开放边界条件(碟形结构)等等。也可以将陈绝缘体放在一些奇异晶格上,比如锥面和类似螺旋面的鞍型结构。这些奇异的晶格结构可以通过碟形结构和一些单位扇形经过“剪切”和“拼接”的操作获得。本论文中,我们选取Kagome格子上的陈绝缘体作为研究对象。在碟形结构上的陈绝缘态哈密顿量拥有六重旋转对称性,通过“剪切”和“拼接”而获得的奇异晶格上的陈绝缘体的哈密顿量则具有任意整数重旋转对称性。“剪切”和“拼接”的操作会使得在格子中心出现缺陷,这种缺陷的存在会让陈绝缘体态拥有很多新奇的性质,比如分布在能带里和带隙中的局域态,整数填充下的分数电荷以及多支边缘激发态。由于晶格中心出现了缺陷,在缺陷的地方能够观测到缺陷态。同时,由于这些缺陷态的存在,当电子整数填充能带时,会出现填充缺陷态与不填充缺陷态的这两种情况,考虑到多粒子填充时,便会出现多支边缘激发谱。分数电荷大多出现在分数量子霍尔效应中,但由于缺陷态的出现,会使得电荷在实空间分布不均匀,从而会在缺陷格子附近出现分数电荷,并且我们发现这种分数电荷与旋转对称性存在一些关系。陈绝缘体态也可以拓展和推广到准晶体体系中,将正五边形和菱形拼接在一起,构造了具有五重旋转对称性的准晶格子,并在这种格子中加入交错磁通,得到陈绝缘体态。我们通过实空间陈数和输运性质确定其拓扑性质。分数量子霍尔效应存在分数化的量子霍尔平台,这种分数的量子霍尔平台是由电子强关联效应所引起的。Laughlin给出了一个解析试探波函数用来描述分数量子霍尔态,被人们称之为Laughlin波函数。Laughlin波函数数学形式比较简单,但是里面包含了很多物理,它能够很好地用来描述分数量子霍尔态的基态。最近,无需外加磁场的分数反常量子霍尔态或者分数陈绝缘体态已得到理论研究。在拓扑平带模型上,考虑粒子之间相互作用,能够得到分数陈绝缘体态。分数陈绝缘体态也可以在不同边界条件下讨论,比如在游泳圈面,柱面以及碟形结构。在碟形结构中,可以观测到分数陈绝缘体态的边缘激发,边缘激发是分数霍尔态一个显著特征,其边缘激发序列可以用一维手征Luttinger液体理论预言。其实,分数量子霍尔态服从广义泡利原理。基于广义泡利原理和陈绝缘体单粒子态,可以构造了分数陈绝缘体的试探波函数。边缘激发序列完全可以根据广义泡利原理进行预言。同时,基于广义泡利原理,还可以预测分数陈绝缘体态基态及激发态能量。分数量子霍尔态还可以在一些曲面上进行讨论,比如锥面。在锥面上的分数量子霍尔态波函数是依赖于锥形结构的。我们发现,锥面上分数量子霍尔态也是服从广义泡利原理的。我们首次提出在奇异晶格(任意旋转对称性)上的分数陈绝缘态,并根据广义泡利原理和Jack多项式,构造奇异晶格上分数陈绝缘体态。这里,主要考虑硬核玻色子填充到拓扑平带上,在构造多体波函数时我们采用有效投影的方法。我们发现,这种体系下的分数陈绝缘体态是与几何结构相依赖的。同时,由于奇异格子上的陈绝缘体存在着一些缺陷态,和整数填充的陈绝缘体态一样,也观测到多支边缘激发谱。多支边缘激发谱和新奇的分数量子霍尔态是在连续体系中比较难以观测到的,但在分数陈绝缘体中有望得到观测。由于缺陷态的存在,粒子可以选择占据缺陷态,这样一些新奇的分数陈绝缘体态也会出现。本文主要介绍博士阶段所做的几项工作,分为五个章节。第一章为绪论,概括地介绍一下量子霍尔效应和陈绝缘体的由来与最新进展以及相关背景,比如分数量子霍尔效应,陈绝缘体及分数陈绝缘体等。在第二章中主要回顾如何利用广义泡利原理和陈绝缘体单体波函数来构造在碟形结构上费米子填充下的分数陈绝缘体的多体波函数。在第三章首先介绍如何构造具有任意重旋转对称性的曲面格子上的陈绝缘体态,并列举出一些比较新奇的特性,如多支边缘激发,分数电荷等。同时,在本章中我们构造准晶的陈绝缘体态,通过实空间陈数和量子输运性质来考察其拓扑性质。第四章,我们根据广义泡利原理、单粒子波函数以及投影方法来构造奇异晶格体系中硬核玻色子填充下的分数陈绝缘体态。通过与严格对角化比较,我们发现,在奇异晶格上的分数陈绝缘体的波函数是与几何结构有关的。考察其边缘激发,我们得到有多支边缘激发序列。有趣地是,在奇异晶格体系中还观测到一些新奇的分数陈绝缘体态。第五章为最后一个章节,总结一下我们所做的工作以及展望接下来可以继续开展的工作。