拓扑能带理论是近二十年来凝聚态物理领域最为成功的的领域之一。传统能带论中,电子在固体中以“准粒子”形式存在(Landau Fermi液体理论和平均场近似框架下)。它背后的理论基础是量子力学和量子场论,我们知道量子波函数生活在Hilbert空间,人们实际观察到的是它的平方。长久以来,人们只关心“准粒子”的“准经典”行为,即“准粒子”的色散,输运,热力学统计等等。在此之下,它的量子性,因为无法直接观测而被人们忽视。而拓扑能带理论告诉我们:电子的波函数具有一定的拓扑结构,有些可以绝热演化到完全孤立的状态,有些则不能。当电子波函数不能绝热演化至原子波函数时,系统可以定义一个非0的拓扑量子数。正是由于拓扑量子数的保护,在该相的边界上,会出现相应的载流态。这样的边界态在实验上得到了验证。属于一个拓扑类的绝缘相,只有通过能隙闭合,导带波函数和价带波函数混合,才能相变到另一个拓扑类。而能隙闭合时,无法定义拓扑量子数。这一有能隙的中间态,在拓扑能带理论中没有很好的刻画。随着时间推移,人们慢慢发现,拓扑的概念可以推广到有能隙的相。第一个被发现的有能隙相是Weyl半金属,在三维Brillouin区中,存在着成对出现的具有相反手征荷的点状简并。当两个Weyl点在高对称点相遇,由于对称性的保护,不容易打开能隙,此时的四重简并态称为Dirac半金属。简并还可能在三维Brillouin区以一维线的形式存在,称为节线型半金属。这一类材料统称为拓扑保护的半金属,关于它的理论研究至今仍未完善。本文中我们关注节点型半金属和节线型半金属,其简并在不破坏系统对称性的微扰下的演化性质。我们的结论如下:(1)我们研究了二维具有手征对称性的系统中可能存在的节点和节点的演化。我们发现这类节点不是对称性保护的,并不一定位于Brillouin区的高对称点。局域的看(不考虑两个分离的节点跑到一起的情况),节点在微扰下可能移动、湮灭打开能隙、分裂到几个不同的点去。我们发现节点的稳定性依赖于定义在节点附近的低能有效模型。只有在两个动量方向都是线性色散的节点是稳定的。我们的结果穷举了所有可能的情况(假设系统Hamilton量在节点附近Taylor展开下收敛),具有普适性。我们的方法也可被推广到具有其他对称性的系统、多带系统或Nambu表象下的超导准粒子系统。(2)将节点演化的方法推广,我们研究了具有锁链型简并的节线型半金属在两个环的交点附近的微扰演化行为。在外界扰动下,两个环的交点可能会打开,将原来的相变化到两个分离的环、两环相接形成一个大环或两环嵌套形成连环套型的简并等几种情形。不同类型的相变取决于交点附近能带的色散而不依赖于具体的微扰形式。在色散各个方向都为二次的情况下,系统可能有连环套型的演化,我们进一步推导了这种演化的一个必要条件。这种相变可以通过外加磁场的Landau能级跃变观测得到。同时需要注意到节线型简并更容易出现在超导系统中,这引起了我们进一步的兴趣。