Schauder估计给出了二阶椭圆方程解本身直到其二阶偏导数H?lder范数的控制,是偏微分方程中论证解存在性的一个重要工具。本文主要定义了一类带奇点空间上类似于H?lder空间的函数空间,利用这新的函数空间,我们推广了光滑流形上的经典Schauder估计。我们的估计使用了一种类似于插值的想法,解一个关于误差项的椭圆方程问题,从而可以给出经典的Schauder估计。我们的估计避免了 Donaldson利用带奇点空间格林函数的展开,这一类格林函数总是非常复杂,因为空间不是平坦的,涉及到Bessel函数的估计等等。诚然一些基本的分析变复杂了,但基本的工具被证明在这种空间上在某些条件下也还是成立的,比如带锥点的Sobolev不等式,或者Laplace算子的自共扼性质。基于这种带锥点空间的特征,我们考虑了一些应用,例如我们可以在这种空间上证明正质量定理。为计算上的简化和讨论的方便性,我们额外假设空间是自旋的,这个条件在光滑渐近平坦流形中出现过,比较自然,可以移除空间维数的限制。本文的第二部分考虑了有关退化椭圆算子的问题。退化算子近年来也受到人们的广泛关注。原因在于退化椭圆算子描述了全纯函数在伪凸域上边界的行为。更早的有关退化椭圆算子的问题出现在概率论中,并且已经取得了相应的成果。在这一部分,我们分析了从次Riemann流形出发到一般具有推广非正曲率度量空间的调和映照,我们假设靶流形具有推广的非正截曲率,这样假设的好处是空间存在一个凸函数,而调和映照复合上一个凸函数自然的是一个次调和函数,相应的M?ser迭代技巧告诉我们可以控制映照本身的连续范数。进一步细致的分析,我们甚至可以得到H?lder连续性。本文第三部分,我们还考虑了对一个特殊的靶流形上调和球与拟调和球的非存在性。调和球和拟调和球在调和映照热流的研究中占据着重要的作用。假如热流在某些点处爆破,则在爆破点处藏了调和球或者拟调和球,从而非存在性蕴含了热流不爆破,于是热流长时间存在,这是奇点分析中的常用技巧。我们的方法依赖于靶流形的特殊扭积结构和径向的能量估计。