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数学形态学是一门新兴的图像分析学科，它建立在严格的数学理论基础上，它的基本思想和方法对图像处理的理论和技术产生了重大影响。在本文中，先对完备格上的数学形态学作了初步介绍。然后在理论上，把数学形态学从完备格延伸到完备半格，研究了完备半格上的伴随，讨论并证明了完备半格上数学形态学的一些性质，列出了差分半格和参考半格两个例子。最后根据完备格、半格上数学形态的基本思想，介绍了数学形态在数字图像处理中的应用，提出了图像空穴检出、运动物体及快速运动部分检测、图像边缘检测和图像增强四种新的实用算法。