【摘 要】
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偏微分方程能够描述许多自然现象,在电磁学、热力学、流体力学等多个领域都得以广泛应用,然而偏微分方程解析解的求解难度较大,在实际应用中就体现出数值方法的重要性.本文的工作主要是为一类二维稳态常系数偏微分方程,一类非稳态变系数偏微分方程,一类非线性非稳态偏微分方程（Kd V方程）提供一种新的数值求解方法.首先基于变限积分法对一维与二维Helmholtz方程进行求解,构造了含三对角矩阵的离散格式.对于一
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偏微分方程能够描述许多自然现象,在电磁学、热力学、流体力学等多个领域都得以广泛应用,然而偏微分方程解析解的求解难度较大,在实际应用中就体现出数值方法的重要性.本文的工作主要是为一类二维稳态常系数偏微分方程,一类非稳态变系数偏微分方程,一类非线性非稳态偏微分方程（Kd V方程）提供一种新的数值求解方法.首先基于变限积分法对一维与二维Helmholtz方程进行求解,构造了含三对角矩阵的离散格式.对于一维Helmholtz方程研究了变限因子对误差的影响,通过误差估计,证明离散格式的截断误差达到二阶,数值实例表明该离散格式的变限因子和步长相等时,误差较低.同时探究了不同波数在二维Helmholtz方程的应用情况,通过数值实例发现,在不同波数下,数值格式都有较好的精度.其次将变限积分法应用到一维非稳态变系数对流扩散方程的数值求解中,结合二元六点Lagrange插值,构造了混合精度的隐式离散格式,利用Fourier分析证明该方法是无条件稳定的.经过先验估计,离散格式按范数收敛,通过误差估计给出了对应离散格式的截断误差.同时数值实例表明,与GEL、（S）AGE、（D）AGE等数值方法相比精度有所提高.最后基于变限积分法,结合三点Lagrange插值,构造出两层流体Kd V方程的全离散格式,通过数值实例验证了方法的可行性.
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