数值模拟以其成本低、效率高的优点在科研及工程应用中占有重要地位。随着数值模拟的计算规模不断扩大，对数值方法的计算效率提出了更高要求。传统有限元法一般采用稠密的三角形或四边形网格对求解域离散，存在前处理复杂、计算量大等缺点，这在一定程度上限制了有限元法在大规模数值模拟等问题中的更广泛应用。而采用多边形单元、多变量单元或Coons宏单元等建立的有限元，虽具有前处理简单，计算量小等优点，但也存在插值函数表达式复杂或应用面较窄等缺点。针对这一问题，本文基于有理超限插值及满足δ特性的一维插值，构造出边基点插值，进而利用构造出的边基点插值，建立了求解偏微分方程的新型数值方法一边基点单元法。 本文以边基点插值的构造及应用为主线，主要在以下几个方面进行了研究：在Coons宏单元法中，由于Jacobin矩阵计算量大而降低了计算效率。本文通过次参变换，减少Jacobin矩阵阶数以及均匀划分积分网格，避免重复计算Jacobin矩阵，极大地提高了计算速度。根据所研究问题的特点调整单元，提出了改进Coons宏单元法计算精度的一些计算技巧。算例结果表明：采用次参变换及均分积分网格能够明显提高计算速度。 给出有理超限插值在三角形和四边形上的混合函数表达式，构造满足δ特性的线性插值及三次B样条插值基函数，进而对有理超限插值的边界函数进行插值，推导出边基点插值。边基点插值与Coons宏单元的插值相比，可得到三角形、四边形乃至多边形单元的插值函数，其表达式为有理函数式且没有角点修正项。与传统有限元的多项式插值比较，在三角形和四边形单元上，当只有角节点且边界函数为线性插值时，边基点插值分别等价于传统有限元中三角形线性插值和四边形的双线性插值。 在势问题数值求解中，以边基点插值作为单元插值函数，进行等参变换并通过Galerkin法求解势问题的微分方程弱形式，从而推导出求解势问题的边基点单元法。给出了边基点单元法的数值积分方案及数值计算步骤。与求解势问题的有限元法相比，边基点单元法前处理更简单且二者计算精度相近；在边基点单元积分网格与有限元网格相同时，采用次参变换的边基点单元法，当非形状控制节点较多时，计算量也将小于有限元法。与Coons宏单元法相比，三角形计算域可直接采用三角形边基点单元求解，其计算精度随节点数增加而增加；对圆域上平面分布的待求函数，Coons宏单元的计算精度高于四边形边基点单元。 在弹性力学问题数值求解中，以边基点插值作为单元插值函数，进行等参变换并通过Galerkin法求解弹性问题的微分方程弱形式，推导出弹性力学问题的边基点单元法。分析边基点单元的收敛性，提出形函数的数值实现方案，作小片试验验证边基点单元法的正确性。与传统的有限元方法相比，边基点单元法可极大地降低前处理及求解整体方程组的计算量。数值算例表明，边基点单元法在求解弹性力学问题时，不论是位移还是应力都有较高的精度。 将有理超限插值推广到三维，推导出五面体及六面体的超限插值表达式。对三维超限插值的边界函数进行插值，推导出三维单元的边基点插值。将此边基点插值作为单元插值函数，进行等参变换并通过Galerkin法求解空间弹性问题微分方程的弱形式，建立空间弹性问题的边基点单元法。数值算例结果表明三维边基点单元法在求解空间弹性问题时，具有令人满意的计算精度。