论文部分内容阅读
线性算子的点谱和剩余谱之间有一定关系,将点谱和剩余谱进行细分,能使我们更详细、更透彻地了解线性算子谱的性质,所以点谱被分为两类,本文记作σrpa(·)和σpb(·).但是在研究缺项算子矩阵谱补问题的过程中,发现有必要将剩余谱及这两类点谱进一步细分,我们将剩余谱分为两类,记作σr1(·)和σr2(·),同时将σpa(·)分为两类,记作σp1(·)和σp2(·),将σpb(·)分为两类,记作σp3(·)和σp4(·),这时点谱被分为四类.本学位论文主要考虑了有界缺项算子的各类点谱和两类剩余谱等一些类型谱的谱补问题和无穷维Hamilton算子的四类点谱和两类剩余谱等谱的性质以及上三角型无穷维Hamilton缺项算子的谱补问题.
主要结果如下:
首先,研究了2×2阶上三角型缺项算子矩阵的谱补问题.设H和K是Hilbert空间,B(H,K)表示从H到K的所有有界线性算子组成的集合,简记B(H,H)为B(H).设A∈B(H),B∈B(K)为给定,定义2×2阶上三角型缺项算子矩阵MC=[A O C B].本文描述了集合∩C∈B(K,H)σt(MC),其中t∈{pa,pb,p1,p2,p3,p5,r1,r2}.刻画了MC的四类点谱σp1(·)、σp2(·)、σp3(·)、σp4(·)及左(右)Weyl谱、Weyl谱的可能谱集.
然后,考虑3×3阶上三角型缺项算子矩阵的谱补问题.分别给出3×3阶上三角型缺项算子矩阵的亏谱、近似点谱和Moore-Penrose谱的扰动结果.
其次,考虑了杜鸿科教授在1994年提出的“问题3”.在比较MC的谱扰动∩C∈B(K,H)σ·(MC)和可能谱∪C∈B(K,H)σ(MC)的基础上,得到满足“问题3”的所有线性算子C组成集合的描述,为公开问题的彻底解决开阔了思路,奠定了一定的基础.
最后,研究了无穷维Hamilton算子的谱及上三角型无穷维Hamilton缺项算子的谱补问题.无穷维Hamilton算子是一类特殊的非自伴算子矩阵,对其研究有着重要的理论价值和应用价值.无穷维Hamilton算子的谱理论是深入研究无穷维Hamilton系统的重要途经,因此研究了无穷维Hamilton算子的各类点谱和两类剩余谱的性质,进一步了解了无穷维Hamilton算子的谱的分布特点.上三角型无穷维Hamilton算子作为算子矩阵,也有谱补问题,但由于其结构特点,对各分块算子有一定限制,所以其谱补问题的研究有一定的难度.利用已有的2×2阶上三角型缺项算子的谱补的结果,给出对角定义的上三角型无穷维Hamilton缺项算子的四类点谱和两类剩余谱等谱的谱补范围,并得到上三角型无穷维Hamilton缺项算子的σp1(·)和σr1(·)的扰动.另外,还考虑了特殊类型的无穷维Hamilton算子谱的结构.