本博士论文应用临界点理论研究具变号位势的二阶非线性离散Hamilton系统的次调和解、周期解与同宿轨的存在性．本文将离散Hamilton系统的次调和解、周期解与同宿轨的存在性问题转化为适当函数空间上对应泛函的临界点的存在性问题，得到一系列全新的结果．全文共分四章，内容如下： 在第一章中，我们回顾了所研究问题的历史背景与发展现状，并且对本文的主要工作进行了简要的陈述． 在第二章中，我们利用环绕定理主要讨论了当位势函数的一个因子是具零均值的非零变号周期函数，另一个因子是具有某些增长性条件的函数时，二阶非线性离散Hamilton系统的次调和解的存在性，得到了该系统至少有一个非平凡次调和解的若干充分条件． 在第三章中，我们考虑一种具变号位势的二阶非线性离散Hamilton系统的周期解的存在性．其位势函数中不仅含有具非零均值的变号周期函数，而且含有正负定未定的对称矩阵值周期函数．已有文献利用临界点理论中的Morse理论考虑具渐近二次位势函数的该系统的一种特殊情形的周期解的存在性，本文则利用临界点理论中的极小极大方法考虑具非渐近二次位势函数的该系统，建立了该系统至少存在一个或两个非平凡周期解的若干充分条件，所得结果丰富和发展了离散Hamilton系统理论． 在第四章中，我们利用山路引理研究一种具变号位势的二阶自伴非线性离散Hamilton系统的同宿轨的存在性．该系统中两对称矩阵值函数正定，位势函数在原点与无穷远点均是超二次的．我们分别在有周期假设条件和无周期假设条件下建立了同宿轨存在的若干判别准则，所得结果推广了某些文献的结论．