关于(边修正)Szeged指标极值问题的研究

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图论是离散数学中最重要的分支之一,它以图为研究对象,图论中的图都是由若干给定的点及连接两点的线所构成的.化学图论是利用化合物的分子结构来获取化学特性,一般把原子用顶点来表示,原子之间的化学键用边来表示,它是数学与化学的交叉学科.拓扑指标作为化学图论的主要研究内容之一,是分子图到实数集的一个映射,建立起了分子结构与分子性质之间的桥梁,为测量和探究化合物的物理化学,热力学等性质提供了依据.一个连通图的Wiener指标是图中所有无序顶点对之间的距离之和,这一概念是由美国化学家Wiener在1947年探究烷烃沸点的文章中提出的.Gutman在1994年提出了基于距离的拓扑不变量Szeged指标,其定义为任取边,到点比到点距离近的点的数目乘以到点比到点距离近的点的数目之和,并指出树的Wiener指标和Szeged指标是相同的.但是Szeged指标的公式中并没有涉及到顶点和到顶点距离相等的那些顶点,注意到这点之后,Randi(?)(8在2002年提出了修正Szeged指标.2018年Klavˇar等人在一篇文章中确定了仙人掌图Szeged指标与Wiener指标差值的最小和第二小值以及仙人掌图修正Szeged指标与Wiener指标差值的最小值,并提出问题:确定仙人掌图修正Szeged指标与Wiener指标第二小的差值.在第二章的2.4,我们解决了这个问题,并且在本章的2.3,我们纠正了Klavˇar等人在研究仙人掌图Szeged指标与Wiener指标第二小的差值时存在的错误,得到了正确的结论.2008年,Gutman在考虑一个图中所有边之间的关系时提出了边Szeged指标的概念,其定义为任取边,到点比到点距离近的边的数目乘以到点比到点距离近的边的数目之和.随着对边Szeged指标的进一步研究,董等人在2011年介绍了边修正Szeged指标,也就是在边Szeged指标的基础上考虑了到顶点和到顶点距离相等的那些边,并给出了单圈图的边修正Szeged指标的极值.2018年,王等人得到了给定直径的单圈图的边Szeged指标的下界.2020年,何等人得到了给定完美匹配的单圈图的边Szeged指标的下界.在此基础上,我们通过研究得到了给定直径的单圈图的边修正Szeged指标的下界,以及给定完美匹配的单圈图的边修正Szeged指标的下界,并给出了极值图,这两部分的内容分别在第三章和第四章.
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