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本文讨论了以下一维对流扩散初边值问题数值求解的几个差分格式。{()U()t+b()u()x=a()2U()x2+F(x,t)0<x<L0<t<T{U(x,0)=f(x)0≤x≤L{U(0,t)=g1(t)0≤t≤T{U(L,t)=g2(t)0≤t≤T。
首先是基于中心型差分格式的探讨。介绍了最简单的显式格式以及隐式格式,并且在此基础上推导得常用的Crank-Nicolson型差分格式(六点隐格式,简记为lygs)。在系数矩阵并不总能满足对角占优.在Crank-Nicolson型差分格式的基础上,提出了两种适应于变系数问题的改进格式(罚格式以及迎风格式,分别简记为fgs,yfgs)以保证其所形成的系数矩阵对角元占优,可以更加有效的求解。对改进格式,分别讨论了截断误差以及精度.并且对系数给出一定的限制条件,以方便用能量估计法来证明差分解按照离散L2范数收敛于Sobolev空间内的精确解。
对对流占优的对流扩散方程,如果利用中心型差分格式(以及其他一般的差分格式)进行求解有时会出现数值震荡,而特征有限差分方法则可以有效地克服这一缺点。对基于线性插值的特征差分格式进行了改进,采用了文[19]的利用最近点插值的思想,参照文[15]对边界点的处理办法,将原来的基于线性插值的特征差分方法予以改进,使得算法更加简便,并且从理论上证明了格式的收敛性:差分解按照最大模范数收敛于Sobolev空间内的精确解。
在理论分析之后给出了具体算例,证实了六点隐格式(1ygs)的精度最高,迎风格式(yfgs)次之,罚格式(fgs)在精度上最低。对于一般的问题,迎风格式比罚格式更好因为前者比后者的精度更加高,适用范围也更加广.但是对于对流占优的陡峭前沿问题,利用迎风格式或六点隐格式求解都发生了数值震荡,而罚格式则可以避免产生数值震荡,虽然有一点数值扩散的迹象,仍不失为一个适用于对流占优问题的算法。