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设p为素数,m,n,x为任意正整数,我们定义Pm(n)如下:Pm(n)=n∏x=1(x3+m3).本文主要采用反证法对Pm(n)是否为平方数进行了研究,得出以下一些结论: 引理2.2任意j∈N+,在环Z/pjZ中,对于方程x3+m3=0 (i) p=2,(2,m)=1时,方程只有1解; (ii) p=3,(3,m)=1时,①j=1,方程只有1解;②j≥2,方程有3解; (iii)p>3时,①p≡1(mod3),方程至多有3解;②p≡2(mod3),当p(|)m时,方程至多有1解,否则方程至多有3解. 引理2.3(i)当p≤n时,βp≥n-1/p-1-log(n3+ m3)/logp; (ii)当p>n,m<3√1+3n+3n2时,αp≤6. 定理2.1令m=pα11pα22…Pαtt,Pi≡1(mod3),i=1,2,…,t,当m<3√1+3n+3n2时,若n>108,则Pm(n)=n∏x=1(x3+m3)不为平方数. 定理2.2设p为奇素数且p≠3,令m=pα,当m<3√1+3n+3n2时,若n>108,则Pm(n)=n∏x=1(x3+ m3)不为平方数.