【摘 要】
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本文基于符号计算软件Maple,利用对称性理论、相容Riccati方程展开法（CRE方法）、优化系统直接构造方法以及高阶对称延拓理论,研究了数学物理方程中若干非线性模型的相关问题,主要包含以下三方面的内容:若干非线性偏微分方程非局域对称及精确解的构造;优化系统的分类;暗方程的分类及递推算子的构造.具体章节安排如下:第一章绪论部分,介绍了本文研究内容的理论背景和发展现状,包括对称理论、优化系统、暗方
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本文基于符号计算软件Maple,利用对称性理论、相容Riccati方程展开法（CRE方法）、优化系统直接构造方法以及高阶对称延拓理论,研究了数学物理方程中若干非线性模型的相关问题,主要包含以下三方面的内容:若干非线性偏微分方程非局域对称及精确解的构造;优化系统的分类;暗方程的分类及递推算子的构造.具体章节安排如下:第一章绪论部分,介绍了本文研究内容的理论背景和发展现状,包括对称理论、优化系统、暗方程以及符号计算,并阐明了本论文的选题和主要工作.第二章,首先分别基于Darboux变换和Painleve截断展开法构造了 Kaup-Kupershmidt（KK）方程的非局域对称和留数对称,并通过引入辅助变量,成功地将非局域对称局域化,利用经典Lie群理论求解扩大系统的Lie点对称,并通过有限变换和相似约化给出了原系统孤立波与椭圆周期波等相互作用解;其次,利用相容Riccati方程展开法,求得了 AB系统的一些新的精确解.第三章,基于构造一维优化系统的直接算法,研究了 2 + 1维Wu-Zhang（WZ）方程Lie对称群的一维优化分类问题,构造了 WZ方程的优化系统,并通过相似约化得到了十五类1 + 1维完整且不等价的约化系统,不仅包括经典的Boussinesq方程和WZ方程的稳态形式,还包括一些Painleve可积的方程.第四章,基于Kupershmidt暗KdV方程的定义和分类,首先,在高阶微分形式对称存在的假设下,通过线性延拓得到了暗修正KdV（MKdV）方程的完整分类,得到了十二类不等价的暗MKdV系统.与暗KdV方程比较,每一类暗MKdV方程都含有自由参数,当自由参数固定时,其中九类暗MKdV方程正好是暗KdV方程作合适的Miura变换的结果,而另外三类不能通过调整自由参数的值,由暗KdV方程通过Miura变换求得.其次,对暗方程的定义进行了推广,通过线性非齐次延拓得到了含有更多自由参数的推广的暗MKdV方程的不等价分类.通过选取合适的自由参数,推广的暗MKdV方程恰好可以退化到所有齐次延拓的暗MKdV方程.另外,分别选取暗MKdV方程和推广的暗MKdV方程其中两类,推导了它们的递推算子.第五章,对全文工作进行了简要的总结和讨论,并对接下来将要研究的工作做了进一步展望.
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