【摘 要】
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本文考虑了广义Kd V-RLW-Rosenau方程降维模型的B样条Galerkin有限元（GFE）解的L∞误差估计.使用适当的投影研究了半离散B样条Galerkin方案.对于全离散的B样条Galerkin方案,应用Crank-Nicolson方法并分析了相应的误差估计.将适当的特征正交分解（POD）方法应用于广义Kd V-RLW-Rosenau方程的GFE格式,使其简化为具有较低维度和足够高精度的
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本文考虑了广义Kd V-RLW-Rosenau方程降维模型的B样条Galerkin有限元（GFE）解的L∞误差估计.使用适当的投影研究了半离散B样条Galerkin方案.对于全离散的B样条Galerkin方案,应用Crank-Nicolson方法并分析了相应的误差估计.将适当的特征正交分解（POD）方法应用于广义Kd V-RLW-Rosenau方程的GFE格式,使其简化为具有较低维度和足够高精度的POD GFE格式.非线性复杂系统的数值解无论是存储还是CPU的成本都是非常昂贵的.即使使用了良好的网格生成器、离散化方案或求解算法,对复杂、湍流或混沌系统的计算模拟仍然是一项艰巨的任务.甚至,实时间内计算复杂系统的最优控制或反馈控制是不可能的.为了解决这些问题,提出了降维方法.其中,适当的特征正交分解（POD）方法是一种有效的降维方法.POD方法是一种不仅能保证计算精度,还能在数值计算过程中减少未知量个数的数值方法.这种降维方法在信号处理、地球物理和统计学领域已经取得了广泛的应用.本文运用POD方法分析了广义Kd V-RLW-Rosenau方程的降维模型的数值解问题,在保证计算精度的基础上,提高计算效率.实际上,POD结合Galerkin投影多年来一直被用来制定动态系统的降维模型.本研究内容为:第一章中,给出研究背景以及方程的介绍.在第二章中,首先利用分部积分求得方程（1.1）的弱形式（2.1）,继而利用延拓定理、Gronwall不等式、Sobolev不等式以及Young不等式等方法证明了式（2.1）的解的存在性和唯一性.讨论了有限元近似解,处理了半离散B样条Galerkin近似,应用辅助投影、Cauchy-Schwartz不等式等方法理论上推导出了L∞（Ω）范数中的二阶空间误差估计.在第三章中提出一种对时间上采用Crank-Nicolson方法的全离散格式,利用Brouwer不动点定理证明了全离散格式（3.1）解的存在唯一性,利用椭圆投影推导了Galerkin-Crank-Nicolson方案的误差估计,同时证明了时间上的二阶精度.第四章介绍了POD基的生成和降维模型的构造技术,并用POD GFE方法推导了降维模型的误差估计.给出了数值实验来证明所提出方法的有效性和精确性.分析了简化的POD GFE解与通常的GFE解之间的误差.数值例子表明,数值计算与理论结果结论一致,验证了POD方法的可行性和有效性.在第五章中,运用线性二次调节器设计考虑了方程的反馈控制.
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