多项式优化是数学优化领域中的一项重要研究内容.在经济学,管理学,统计学和计算机科学等一系列学科中都起到了重要的作用,具有重要的研究价值和发展前景.本论文主要研究与多项式优化相关的若干问题,具体内容如下:首先,我们介绍了本文的研究背景,研究意义,以及国内外最新的研究进展.对于多项式方程组,传统数值方法很难有效地求解出问题的全部实数解.我们将多项式方程组的解集进行适当划分,并将原问题转化为一系列多项式优化子问题.在实数解个数有限时,我们提出了一种半定松弛等级算法,可以将全部实数解依次求出,同时我们也证明了该算法的有限收敛性,并给出了一系列数值结果.张量互补问题作为非线性互补问题的一类特殊情况,目前尚没有很好的数值算法可以计算出该问题的全部实数解.在已有文献中,多数理论结果也是建立在具有特殊结构张量的假设之下的.我们从多项式优化的角度,给出了求解一般张量互补问题的半定松弛等级算法.如果实数解个数有限,该算法可以将其全部求出,且具有有限收敛性.而后,我们也通过数值结果验证了该算法的有效性.关于多项式矩阵的半定互补问题,迄今为止很少有这方面的研究,亦没有有效的数值方法对其进行求解.我们将其转化为带有多项式矩阵不等式约束的优化子问题,利用多项式矩阵的平方和分解,提出了这类问题的半定松弛等级算法,由松弛问题产生一组单调递增的最优值的下界序列,并最终收敛于该最优值,进而可对原问题进行求解.另外,我们研究了带有两个二次约束的二次规划问题,该问题是一类经典的多项式优化问题.我们给出了一种改进的精确Jacobian半定松弛算法,与经典的Lasserre型松弛方法相比有更好的收敛性;与Nie提出的精确Jacobian方法相比,避免了在单个问题中引入过多约束,且降低了对应松弛问题的最低松弛阶数.此外,该方法不局限于带有两个二次约束的优化问题,还可以简单推广到其他不等式约束多项式优化问题中.在上述工作的基础上,我们又提出了一种全新的子空间方法.经典的Celis-DennisTapia问题是一类特殊的多项式优化问题,其作为信赖域方法的子问题,具有重要的研究意义.在使用半定松弛方法计算这类问题时,松弛问题的规模随着原问题变量个数的增加呈近似指数增长,所以,当问题规模过大时,很多计算方法不再适用.为了弥补这些缺陷,我们提出了Celis-Dennis-Tapia问题的子空间方法.通过研究其子空间性质,我们利用目标函数Hessian矩阵的特征分解给出了不同的子空间构造方法,进而对其维数进行了分析.进一步的,我们将该方法应用于信赖域子问题以及特殊的二次约束二次规划问题中.这种方法不同于已知的大部分子空间方法,使用了全新的研究思路,构造方法以及理论证明技巧.二次约束二次规划问题是Celis-Dennis-Tapia问题的推广.我们研究了一般二次约束二次规划问题的子空间性质,并提出了不同的子空间选取方法及其简化的计算方法,进而可以用子空间代替原空间进行求解.通过对这些子空间的结构进行分析,我们提供了子空间维数的估计,当子空间的维数远小于原空间时,计算量可以大幅减小.此外,构造出的子空间问题与原问题在保持相同格式的基础上精确等价,使得该方法也可与其他已有算法很好的结合.