近年来，在数学、物理、化学、生物学、医学、经济学、工程学和控制论等许多科学领域出现了各种各样的非线性问题，在解决这些非线性问题的过程中，逐渐产生了现代分析数学中非常重要的方法和理论，主要包括：半序方法、拓扑度方法、锥理论和变分方法等，成为当今解决科技领域中层出不穷的非线性问题所需的富有成效的理论工具。 本文主要利用锥理论和拓扑度方法研究非线性微分方程周期边值问题的解的存在性．有关微分方程边值问题解的存在性、正解的存在性和唯—性在二十世纪八十年代以来得到了广泛的研究(如文[20]—[32])．文中进一步研究了微分方程周期边值问题解的存在性。 第一章，讨论了脉冲周期边值问题多个正解的存在性。其中p∈(ln2/()3/n，1/()3)，f：J xR→R+， R+=[0，+∞)，R—=(—∞，0]，0=t0＜t1＜t2＜…＜tk＜tk+1=2π，Ii∈C[R，R+]，I*i∈C[R，R—]．在文[1]—[8]中，研究此问题的方法为上下解与单调迭代技巧．在文[9]中，采用的是拓扑度方法．而在这些文章中，非线性项f均为连续函数，本章在这些文章的基础上，假设非线性项f为Caratheodory函数，构造了一个特殊的锥，利用锥拉伸和锥压缩不动点定理得到方程存在2n-1个正解，改进了文[10]中的结果。 第二章，讨论了奇异混合型周期边值问题在Banach空间中正解的存在性．其中O＜k＜1/4为常数，f在t=0，t=2π和u=θ处有奇异性．f∈C[(0，2π)×P{θ}×E×P×P，P]．近年来，许多学者对此问题进行了研究(文[13]—[18])，使用的方法均为上下解与单调迭代技巧，使用不动点定理研究此问题的还比较少见．本章在这些文章的基础上，通过构造一个特殊的凸闭集，利用Monch不动点定理在抽象空间中得到了方程正解的存在条件。 第三章，讨论了耦合系统周期边值问题多个非平凡解的存在性。其中J=[O，T]，0＜k＜(π/T)2为常数，f，g∈C[J×R×R，R]，T＞0为常数．文[21]—[26]均是对微分系统两点或三点边值问题进行研究，据我们所知，对周期边值系统研究的还很少见．本章利用拓扑度的同伦不变性和缺方向性，得到了方程多个非平凡解的存在性，改善了文[27]中的结果。 第四章，讨论了具有偏差变元的二阶中立型泛函微分方程多个非平凡周期解的存在性。文[29]，[30]研究中立型泛函微分方程(NFDE)周期解的存在性的前提是时滞项τ为常数．文[31]把τ变为关于t的函数，利用叠合度的连续性定理研究了上述中立型泛函微分方程，获得了周期解的存在性结果．利用叠合度的缺方向性和可加性，得到了方程至少存在两个非平凡周期解的充分条件。